Немного информации о кубе и о способах того, как вычислить площадь поверхности куба

Что такое многогранник

Простейшей геометрической фигурой является прямая. Ею называется линия, которая имеет свое продолжение вправо и влево. Если эту прямую ограничить с двух сторон, получится отрезок. Для определения его величины достаточно одного измерения — длины. Прямая, ограниченная с одной стороны, имеет свое название. Это отрезок.

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут

В пределах одной плоскости, кроме прямой, которую можно измерить одной величиной, существуют геометрические фигуры, измеряемые длиной и шириной. Это многоугольники.

Они могут иметь различное количество углов и характеризуются таким понятием как площадь.

Фигура, которая располагается в нескольких плоскостях, характеризуется пространственными величинами или трехмерным измерением. К таким фигурам относят многогранники.

Многогранник — геометрическая фигура, имеющая замкнутую поверхность, которую можно представить совокупностью многоугольников.

Для полной характеристики многогранника необходимо назвать следующие свойства:

стороны обязательно являются смежными с одной соседней стороной;
при необходимости можно, начав движение от одного из многоугольников, достигнуть любого другого, используя принцип смежности;
площадь поверхности многогранника равна сумме площадей многоугольников, ограничивающих фигуру.

При этом каждый многоугольник — это грань, сторона — ребро, а вершина — вершина многогранника.

Многогранник, как геометрическое тело, может быть представлен несколькими параллелепипедами, которые соединены по одной из граней. В таком случае их площадь будет равна сумме площадей свободных сторон и одной стороны, по которой произошло соединение. Объем такого тела будет равен сумме объемов каждого из параллелепипедов.

Многогранники бывают:

выпуклыми (каждая из точек фигуры находится по одну сторону от плоскости);
невыпуклыми (не все точки располагаются по одну сторону плоскости).

Проще говоря, выпуклый многогранник можно поставить на одну из сторон, и он будет на ней «уверенно стоять». С невыпуклым такого действия совершить нельзя.

Примечание 1

Важно помнить, что многогранник — это не только поверхность, состоящая из нескольких многоугольников. Это еще и тот внутренний объем, который ограничивает данная поверхность

Именно поэтому в стереометрии отделяют два понятия: площадь многогранника и его объем.

Способы сечения куба

1. Горизонтальное сечение

Горизонтальное сечение куба осуществляется путем резки его на две равные части плоскостью, параллельной его основанию. Полученные части будут иметь форму квадратных плоскостей, называемых также базами куба.

2. Вертикальное сечение

Вертикальное сечение куба происходит путем резки куба на две равные части плоскостью, перпендикулярной его основанию. Такое сечение продемонстрирует внутреннюю структуру куба и раскроет его слоистую природу.

3. Диагональное сечение

Диагональное сечение куба подразумевает применение плоскости, проходящей через две противоположные вершины куба. Такое сечение образует пирамиду, в основании которой располагается квадратная плоскость.

Призма

Призма – это геометрическая фигура в пространстве; многогранник с двумя параллельными и равными гранями (многоугольниками), а другие грани при этом являются параллелограммами.

Боковое ребро – отрезок, соединяющий соответствующие друг другу вершины разных оснований (AA₁, BB₁, CC₁ и DD₁). Является общей стороной двух боковых граней.
Высота (h) – это перпендикуляр, проведенный от одного основания к другому, т.е. расстояние между ними. Если боковые ребра расположены под прямым углом к основаниям фигуры, значит они одновременно являются и высотами призмы.
Диагональ основания – отрезок, который соединяет две противолежащие вершины одного и того же основания (AC, BD, A₁C₁ и B₁D₁). У треугольной призмы данного элемента нет.
Диагональ боковой грани – отрезок, который соединяет две противолежащие вершины одной и той же грани. На рисунке изображены диагонали только одной грани (CD₁ и C₁D), чтобы не перегружать его.
Диагональ призмы – отрезок, соединяющий две вершины разных оснований, не принадлежащих одной боковой грани. Мы показали только две из четырех: AC₁ и B₁D.
Поверхность призмы – суммарная поверхность двух ее оснований и боковых граней.

Основные свойства призмы

Основы призмы — равные многоугольники.
Боковые грани призмы — параллелограммы.
Боковые ребра призмы параллельны и равны между собой.
Перпендикулярное сечение перпендикулярно всем боковым ребрам и боковым граням.
Высота прямой призмы равна длине бокового ребра.
Высота наклонной призмы всегда меньше длины ребра.
В прямой призме гранями могут быть прямоугольниками или квадратами.

Варианты сечения призмы

1. Диагональное сечение – секущая плоскость проходит через диагональ основания призмы и два соответствующих боковых ребра.

Примечание: у треугольной призмы нет диагонального сечения, т.к. основанием фигуры является треугольник, у которого нет диагоналей.

2. Перпендикулярное сечение – секущая плоскость пересекает все боковые ребра под прямым углом.

Виды призм

Рассмотрим разновидности фигуры с треугольным основанием.

Прямая призма– это такая геометрическая фигура, у которой боковые грани расположены под прямым углом к основаниям (т.е. перпендикулярны им). Высота такой фигуры равняется ее боковому ребру.
Наклонная призма– боковые грани фигуры не перпендикулярны ее основаниям.
Правильная призма – основаниями являются правильные многоугольники. Может быть прямой или наклонной.
Усеченная призма– часть фигуры, оставшаяся после пересечения ее плоскостью, не параллельной основаниям. Также может быть как прямой, так и наклонной.

Что такое ребро куба в геометрии

Куб – правильный многогранник, каждая грань которого представляет собой квадрат. Все ребра куба равны.

Свойства куба:

1. В кубе $6$ граней и все они являются квадратами.

2. Противоположные грани попарно параллельны.

3. Все двугранные углы куба – прямые.

5. Куб имеет $4$ диагонали, которые пересекаются в одной точке и делятся в ней пополам.

6. Диагональ куба в $√3$ раз больше его ребра

7. Диагональ грани куба в $√2$ раза больше длины ребра.

Пусть $а-$длина ребра куба, $d-$диагональ куба, тогда справедливы формулы:

Площадь полной поверхности: $S_ =6а^2=2d^2$

Радиус сферы, описанной около куба: $R= / $

Радиус сферы, вписанной в куб: $r=/ $

При увеличении всех линейных размеров куба в $k$ раз, его объём увеличится в $k^3$ раз.

При увеличении всех линейных размеров куба в $k$ раз, площадь его поверхности увеличится в $k^2$ раз.

Прямоугольный параллелепипед

Параллелепипед называется прямоугольным, если его боковые ребра перпендикулярны к основанию, а основания представляют собой прямоугольники.

1. Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений (длины, ширины, высоты).

Формулы вычисления объема и площади поверхности прямоугольного параллелепипеда.

Чтобы были понятны формулы, введем обозначения:

$с$-высота(она же боковое ребро);

$S_ $-площадь полной поверхности;

$V=a·b·c$ – объем равен произведению трех измерений прямоугольного параллелепипеда.

Пирамида

Пирамидой называется многогранник, одна грань которого (основание) – многоугольник, а остальные грани (боковые) — треугольники, имеющие общую вершину.

Высотой ($h$) пирамиды является перпендикуляр, опущенный из ее вершины на плоскость основания.

Формулы вычисления объема и площади поверхности правильной пирамиды.

$h_a$ — высота боковой грани (апофема)

В основании лежат правильные многоугольники, рассмотрим их площади:

Для равностороннего треугольника $S= √3>/ $, где $а$ — длина стороны.
Квадрат $S=a^2$, где $а$ — сторона квадрата.

Задачи на нахождение объема составного многогранника:

Разделить составной многогранник на несколько параллелепипедов.
Найти объем каждого параллелепипеда.
Сложить объемы.

Задачи на нахождение площади поверхности составного многогранника.

— Если можно составной многогранник представить в виде прямой призмы, то находим площадь поверхности по формуле:

Чтобы найти площадь основания призмы, надо разделить его на прямоугольники и найти площадь каждого.

— Если составной многогранник нельзя представить в виде призмы, то площадь полной поверхности можно найти как сумму площадей всех граней, ограничивающих поверхность.

Примеры построения сечений

Рассмотрим несколько примеров построения сечений в различных фигурах.

Пример 1. В правильном тетраэдре провели апофему АТ, на середине которой отметили точку К. АЕ:ЕС = 1:5. Р — точка на ребре CD. Постройте сечение тетраэдра, проходящее через точки К, Е и Р.

Решение. Подробнее про элементы пирамиды и тетраэдра можно прочесть в статье «Пирамида». Сейчас отметим, что апофема — высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная к основанию.

1. Начнем решение с того, что соединим точки, лежащие в одной плоскости. Е и Р лежат в плоскости (ACD), значит их можно соединить.

2. Рассмотрим плоскость (АСG). Проведем прямую CG. Точки К и Е лежат в одной плоскости, то есть их также можно соединить.

3. Воспользуемся методом следов и продлим прямые ЕК и CG до их пересечения в точке Т.

4. Теперь точки Т и Р будут лежать в одной плоскости основания, следовательно, их можно соединить. Пусть прямая ТР пересекает ребро BD в точке М.

Тогда точки М и К лежат в одной плоскости (ABD) — их тоже можно соединить.

5. Продлим прямую МК до пересечения с ребром АВ в точке О. Точки О и Е лежат в одной плоскости (АВС), соединим их. Сечением тетраэдра будет четырехугольник ОЕРМ.

Пример 2. Дана треугольная призма. Постройте сечение призмы, проходящее через точки К, М, Т.

Решение. 1. Соединим точки, лежащие в одной плоскости. Это точки К и Т в плоскости (АСС₁).

Воспользуемся методом следов и продолжим прямую ТК до пересечения с продолжением стороны АС в точке Р.

2. Точки Р и М лежат в одной плоскости (АВС), то есть их можно соединить. Пусть прямая РМ пересечет ребро ВС в точке Е.

Воспользуемся методом внутреннего проектирования и проведем из точки Т прямую, параллельную ЕМ. Пусть она пересечет ребро А₁В₁ в точке О.

3. Осталось соединить точки, лежащие в одной плоскости. Это точки К и Е в плоскости (ВСС₁) и точки О и М в плоскости (АВВ₁).

Тогда КТОМЕ — сечение призмы.

Пример 3. Дан куб ABCDA₁B₁C₁D₁. М — середина ребра АА₁. Постройте сечение куба, которое будет параллельно диагонали куба А₁С и будет проходить через точки М и В.

Решение. 1. Достроим прямую АС и рассмотрим плоскость (АА₁С). Проведем в ней прямую, параллельную А₁С из точки М. Пусть она пересечет АС в точке К.

2. Тогда МК — средняя линия треугольник АА₁С, значит К — середина АС.

Подробнее про среднюю линию треугольника можно прочесть в статье «Треугольники».

3. Точка К будет принадлежать сечению. Точки В и К лежат в плоскости (АВС) — их можно соединить.

4. В основании куба находится квадрат, его диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам.

Подробнее про квадрат и его свойства можно прочитать в статье «Параллелограмм».

Поскольку К — середина диагонали АС, эта же точка будет серединой диагонали BD.

Следовательно, прямую ВК можно продлить до точки D.

5. Осталось только соединить точки, которые лежат в одной плоскости. Это точки М и D в плоскости (ADD₁) и точки М и В в плоскости (ABB₁).

Тогда сечением будет треугольник DMB.

Мы рассмотрели сечения и основные способы их построения. В них нет ничего сложного и стоит помнить, что любое сечение можно представить в реальной жизни. Например, попробовать разрезать пластилиновые фигуры.

Объем многогранника: формулы

Объем многогранника, в отличие от площади его поверхности, не может быть определен только касательно поверхности. Ведь он представляет собой все внутреннее пространство, которое ограничивается имеющейся поверхностью. На практике говорят, что объем является величиной, с помощью которой описывают размер трехмерных фигур. Эти фигуры так и называют: объемные (тела). У объемной фигуры имеется не только длина и ширина, но и высота – параметр, измеряемый в третьей плоскости.

Решить задачи по определению объема многогранника также можно с использованием формул.

Рассмотрим следующий рисунок:

Объем такого тела определяется по формуле:

V=a*b*c

Поскольку по рисунку видно, что a*b=S, а c является высотой (h), то формулу можно записать в виде: V=S*h

Рассмотренный вариант касается прямоугольного параллелепипеда. Если же произвольный параллелепипед имеет наклонные вертикальные грани, то данная формула также верна, однако проведенная высота отличается от бокового ребра, и, возможно, лежит внутри либо вне самого тела:

Формула определения объема через площадь и высоту подходит и для такого трехмерного тела, как призма (причем как для прямой, так и наклонной):

В быту часто происходит образование новых многогранников в процессе обрезания кусков от старых и приставления их к уже имеющимся. Как же вычислить объем такого геометрического тела? В геометрии используется принцип Кавальери. Суть его в следующем. Площади прямоугольника и параллелограмма равны потому что они в своей структуре имеют отрезки одинакового размера. Проще говоря, если представить рассечение обеих фигур плоскостями, параллельными основанию, величина отрезка слева всегда будет равна величине отрезка справа. Если третья фигура имеет такое же строение, по ее площадь будет такой же.

Объем многогранника, который может быть разделен на два и более многогранников, может определяться суммой их объемов.

Для систематизации формул, применяемых для определения объемов многогранников, рассмотрим таблицу:

	Наименование фигуры	Формула объема
1	Параллелепипед непрямоугольный, призма	V=S*h
	Параллелепипед прямоугольный	V=abc
2	Куб	V=a3
3	Пирамида	S=1/3(Sh)

На практике определить объем трехмерного тела можно и без формулы. Например, найти объем призмы можно, если умножить площадь ее основания на высоту фигуры. При этом вариант, когда в основании призмы лежит треугольник, предполагает, что нужно найти его площадь. Если основание квадрат, на первом этапе — нахождение площади квадрата. Величину высоты определяем, опуская перпендикуляр к основанию.

Сечения

Как дракон с помощью сечений разрушал город?

…В далеком будущем, на одной из недавно открытых планет, люди построили новую цивилизацию. Они возвели новые дома для комфортной жизни разных необычных форм.

Он прилетал к домам, раскрывал свою пасть и стрелял страшным красным лучом. И каждая поверхность и каждый объем, которого касался этот луч, разрезался по прямой линии.

Прилетел дракон к пирамиде и разрезал ее. Ахнули люди: верхушка пирамиды съехала, осталась лишь прямоугольная плоскость.

Увидел дракон обычный дом — в форме параллелепипеда, — и снова луч разрезал здание. Осталась вместо крыши дыра в форме четырехугольника.

Долетел змей до памятника того народа: “треугольной” башни. Разрушил и это здание. Раскололось здание на две половинки, а в месте их раскола остались треугольные дыры.

Поняли люди: нет сил это терпеть! Собрали межгалактические войска и победили дракона. А после восстанавливали город и удивлялись: как интересно были разрезаны здания.

Так что же делал дракон? Он разрезал геометрические тела, а на месте их разреза оставались сечения.

Сечение — это изображение фигуры, получающееся при мысленном рассечении предмета секущей плоскостью.

Разумеется, никакой дракон не прилетает и не рассекает наши рисунки в тетради. Все сечения чертятся отдельно, а представляются мысленно.

Заметим, что в многогранниках сечение получается в форме многоугольника, вершины которого лежат на ребрах многогранника, а стороны на гранях

Обратим внимание, что две соседние вершины будут принадлежать одной и той же грани, то есть одной плоскости

Рассмотрим сечение пирамиды АВС: вершины А, В и С лежат точно на ребрах.

При этом пары вершин А и В, В и С, А и С лежат в одной грани и принадлежат одной плоскости.

Сечение геометрических тел является очень интересным разделом стереометрии. Поскольку это раздел стереометрии, в нем действуют все ее законы, в том числе и аксиомы стереометрии

В этой статье мы не будем заострять на них внимание, прочитать подробнее можно в статье «Аксиомы стереометрии. Расположение прямых и плоскостей в пространстве».

Зачем может потребоваться сечение? Мы сталкиваемся с ними намного чаще, чем думаем. Они бывают не только в задачах, но и встречаются в жизни.

Что мы делаем, когда нарезаем салат? Рассекаем овощи. Каждый разрез — это сечение.

А что делают архитекторы, когда чертят разрезы? Мысленно рассекают здание и показывают его “внутренности”.

Чем вода похожа на сечение?Посмотрим на бутылку с водой. Верхний уровень воды можно принять за плоскость, которая рассекает тело бутылки. Наклоняя бутылку и меняя положение воды, можно увидеть различные сечения, которые могут в ней появиться.

Сечения окружают нас, и в них совсем нет ничего сверхъестественного. А поэтому и разобраться в сечениях в стереометрии не составит для нас труда.

Стереометрия. Задачи на построение сечений

В задачах на построение сечений мы применяем все те определения, теоремы, свойства и признаки, которые изучаем и доказываем на уроках в школе.

Например, если две плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой. Это значит, что плоскость сечения и, например, плоскость грани пирамиды будут пересекаться по прямой, и на чертеже будет показана часть этой прямой – отрезок.

Как вы думаете — может ли восьмиугольник быть сечением куба?

И может ли правильный пятиугольник быть сечением куба?

Чтобы соединить какие-либо две точки на чертеже, нам нужна плоскость, в которой эти точки лежат. Иногда это грань объемного тела. Иногда – вспомогательная плоскость.

А вообще сечение — это плоская фигура, которая образуется при пересечении объемного тела плоскостью и граница которой лежит на поверхности этого объемного тела.

Конечно, восьмиугольник сечением куба быть не может. Ведь у куба 6 граней, и поэтому сечение куба не может иметь больше 6 сторон.

При построении сечений мы часто используем следующие теоремы:

1. Линии пересечения параллельных плоскостей третьей плоскостью параллельны.

Именно поэтому правильный пятиугольник не может быть сечением куба. Ведь 4 из 5 сторон этого пятиугольника лежат в параллельных гранях куба и поэтому параллельны. А у правильного пятиугольника параллельных сторон нет.

2. Теорема о прямой и параллельной ей плоскости:

Пусть прямая m параллельна плоскости α. Если плоскость β проходит через прямую m и пересекает плоскость α по прямой c, то c параллельна m.

Эта теорема помогает, например, при построении сечений пирамиды.

Разберем несколько задач на построение сечений.

1. Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки М, N, K. Точка М лежит на ребре AD, N — на ребре DC, К — на ребре АВ.

Проведем МК в плоскости грани ABD и MN в плоскости грани ADC.

Проведем РК в плоскости нижней грани; четырехугольник — искомое сечение.

2. Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки М, N, K. Точка N лежит на ребре

Покажем, что плоскость сечения пересекает плоскость основания пирамиды по прямой NT, параллельной МК.

Прямая МК параллельна АВ, лежащей в плоскости основания АВС. Значит,

Плоскость сечения проходит прямую МК, параллельную плоскости АВС. По теореме о прямой и параллельной ей плоскости, линия пересечения плоскости сечения и плоскости АВС параллельна прямой МК. Трапеция MKNT — искомое сечение.

3. Постройте сечение куба проходящее через вершину и середины ребер и

Пусть М — середина АВ, N — середина ВС, Продолжим прямую MN до пересечения с продолжениями ребер DC и AD;

Треугольники АМР и KCN — прямоугольные равнобедренные, причем

Проведем — в плоскости задней грани и — в плоскости левой грани куба;

Пятиугольник — искомое сечение. В нем есть параллельные стороны: так как линии пересечения параллельных плоскостей третьей плоскостью параллельны.

4. Постройте сечение куба проходящее через вершину В и середины ребер и

Пусть М — середина ребра , N — середина ребра

Поскольку линии пересечения параллельных плоскостей третьей плоскостью параллельны, плоскость сечения пересекает заднюю грань по прямой, параллельной ВМ, а левую грань — по прямой, параллельной BN. Тогда искомое сечение — ромб

5. Постройте сечение правильного тетраэдра АВСS, проходящее через точку К — середину ребра АВ, точку М, делящую ребро АS в отношении , и точку N — середину апофемы грани SBC.

Пусть SH — апофема грани SBC; N—середина SH.

Проведем MN в плоскости ASH;

Четырехугольник KMEF — искомое сечение.

Постройте сечение правильного тетраэдра АВСS, проходящее через точку К — середину ребра АВ, и точки М и Т — центры граней АSС и SBC.

Пусть SЕ и SH — апофемы граней ASC и SBC; точки М и Т делят отрезки SЕ и SH в отношении 2:1, считая от точки S.

Из подобия треугольников SMT и SEH получим, что Значит

По теореме о прямой и параллельной ей плоскости, линия пересечения плоскости сечения и нижней грани параллельна прямой МТ. Это значит, что плоскость сечения пересекает грань АВС по прямой АВ. Достроим сечение.

7. Постройте сечение куба , проходящее через точку М, лежащую на ребре и точки Т и К, принадлежащие граням АВС и .

Точки М и К лежат в плоскости задней грани . Соединив М и К, получим, что

Соединив точки Р и Т в нижней грани, получим FN — линию пересечения плоскости сечения с нижней гранью;

. Трапеция FMEN — искомое сечение.

8. И самый сложный случай. Построим сечение куба плоскостью МNK, где , причем расстояния от точек М и N до плоскости АВС различны.

Пусть точки и — проекции точек M и N на плоскость нижней грани

Плоскость проходит через параллельные прямые и .

Проведем в этой плоскости MN и

Точки Р и К лежат в нижней грани куба, следовательно, плоскость сечения пересекает нижнюю грань по прямой РК. Дальнейшее построение — очевидно.

Определение и принципы

Сечение куба по трем точкам представляет собой метод геометрической конструкции, который позволяет разделить куб на две части плоскостью, проходящей через три заданные точки его ребер.

Принцип сечения куба по трем точкам базируется на использовании геометрической регулярности и симметрии в кубе. Для осуществления сечения необходимо выбрать три точки на ребрах куба таким образом, чтобы они находились на разных ребрах и не лежали на одной прямой.

После выбора точек, проводится плоскость, проходящая через эти точки. Для этого можно использовать методы геометрической конструкции, такие как построение перпендикуляра, поиск середины и т.д. Пересечение этой плоскости с ребрами куба дает линии пересечения, определяющие грани новых частей куба.

Сечение куба по трем точкам может быть использовано в различных областях, таких как архитектура, инженерия, компьютерная графика и другие. Этот метод позволяет разбить куб на две несимметричные части, что может быть полезно при проектировании и моделировании сложных структур.

Преимущества	Недостатки
Простота конструкции Возможность получения несимметричных сечений Применимость в различных областях	Не всегда возможно выбрать точки на ребрах Требуется точная геометрическая конструкция

Как найти площадь: формулы

В зависимости от того, какой фигурой представлен многогранник, выбирают формулу для расчета площади его поверхности. Рассмотрим примеры.

1. Дана призма (многогранник, у которого в параллельных плоскостях расположены два многоугольника, являющихся гранями. Прочие грани представлены параллелограммами).

Найти площадь данной фигуры можно следующим образом:

2. Дан параллелепипед (один из вариантов призмы, все шесть граней которой являются параллелограммами).

В этом случае S=2(ab+bc+ac)

3.Дана пирамида (вид многогранника с основанием в виде n-угольника и боковыми гранями по форме треугольниками. Обязательное условие: все треугольники имеют одну общую вершину, у которой есть свое название — вершина пирамиды).

Площадь пирамиды можно найти по формуле:

Примечание 2

Особый случай, когда у пирамиды нет вершины. Такая фигура носит название усеченной. Ее можно себе представить, если мысленно параллельно основанию провести сечение (см. рисунок).

S_бок усеченной пирамиды находят по формуле:

В стереометрии существует понятие правильного многогранника. Его вводят для фигур, у которых:

все грани представлены правильными многоугольниками;
число граней у всех углов идентично;
ребра являются равными отрезками;
величины плоских углов идентичны.

Перечисленным требованиям отвечают 5 видов многогранников, представленных в таблице:

	Наименование фигуры	Пример
1	Правильный четырехгранник	Правильный тетраэдр
2	Правильный шестигранник	Куб
3	Правильный восьмигранник	Правильный октаэдр
4	Правильный двенадцатигранник	Правильный додекаэдр
5	Правильный двадцатигранник	Правильный икосаэдр

Определить площадь правильных многогранников также несложно, зная следующие формулы (нумерация согласно строке таблицы):

1. S=a2√3

2. S=6a2

3. S=2a2√3

5. S=5a2√3

Использовать данный формулы нужно в задачах, требующих определить площадь поверхности многогранника, без учета его внутреннего объема.

Вместо заключения

Слово ПРИЗМА используется не только в геометрии, хотя именно это значение считается главным. И именно оно первым записано во многих словарях. Но есть и другие варианты:

Физика– устройство для преломления световых лучей.
Риторика– оценка с учетом определенных факторов. Например, «Он смотрел на нее через призму прожитых лет» или «Он общался с ними через призму своего настроения».
Техника– элемент металлорежущего станка, который предназначен для закрепления на нем цилиндрической заготовки.

А еще «Призма» — это кодовое название советской радиостанции 5-АК. Есть такой хоккейный клуб в Латвии – «Призма-Рига». И наконец, в Финляндии существует сеть продуктовых магазинов «PRISMA».