Объемы геометрических тел

Прямая

Это фигура полностью размещается в одной плоскости. У прямой нет конкретного математического определения, так как она состоит из огромного количества точек, располагающихся на одной бесконечной линии, у которой нет предела и границ.

Существует еще и отрезок. Это тоже прямая, но она начинается и заканчивается с точки, а значит, имеет геометрические ограничения.

Также линия может превратиться в направленный луч. Такое происходит, когда прямая начинается с точки, но четкого окончания не имеет. Если же поставить точку посредине линии, то она разобьется на два луча (дополнительных), причем противоположно направленных друг к другу.

Несколько отрезков, которые последовательно соединяются друг с другом концами в общей точке и располагаются не на одной прямой, принято называть ломаной линией.

5.5.7 Объём куба, прямоугольного параллелепипеда, пирамиды, призмы, цилиндра, конуса, шара

Видеоурок: Объем и площадь поверхности многогранников

Лекция: Объём куба, прямоугольного параллелепипеда, пирамиды, призмы, цилиндра, конуса, шара

Для нахождения объема любого тела необходимо произведение трех параметров тела. Именно поэтому, чтобы проверить правильность решения, следует убедиться в том, что в выведенной Вами формуле оказалось в виде множителя три параметра тела.

Куб

Для нахождения объема куба следует перемножить три стороны. Так как в кубе все они равны, следует просто возвести значение стороны в куб: V = a 3

Прямоугольный параллелепипед

Так как в данной фигуре все углы прямые, то её объем находится просто, как произведение всех сторон: V = abc

Пирамида и конус

Как уже говорилось ранее, эти две фигуры очень похожи. Различие только в том, что у нее разные основания.

Объем пирамиды и конуса находится, как третья произведения площади основания на высоту: V = S_ocH/3

Для пирамиды данная формула изменяется в зависимости от многоугольника, который будет находится в основании.

У конуса же данная формула стандартна, поскольку в его основании лежит окружность: V = πR 2 H/3

Цилиндр

Для нахождения объема цилиндра необходимо найти произведение площади основания на высоту. Так как в основании лежит окружность, получается следующая формула: V = πR 2 H

Не трудно заметить, что формула цилиндра очень похожа на формулу для нахождения объема конуса.

Призма

Как и в нескольких предыдущих случаях, объем призмы находится, как произведение основания на высоту

И не важно, прямая ли эта призма или нет

Данная формула видоизменяется в зависимости от того, какой многоугольник лежит в основании. Формула очень похожа на формулу нахождения объема пирамиды: V = S_ocH

Шар

Для нахождения объема шара достаточно воспользоваться несложной формулой: V = 4/3*πR 3

3 Призма.

Призмой называется многогранник,
у которого две грани – равные многоугольники, расположенные в параллельных
плоскостях, а все остальные грани – параллелограммы. Первые две грани
называются основаниями призмы, а все
остальные – боковыми гранями. Призма
называется треугольной, четырехугольной, пятиугольной и т. д. (в общем случае n-угольной) в зависимости
от того, какой многоугольник лежит в основании призмы. На рисунке 3 изображена
треугольная призма, т.к. в ее основании лежит треугольник. На  рисунке 4 изображена четырехугольная призма,
т.к. в основании лежит четырехугольник (трапеция). На рисунке 5 изображена
пятиугольная призма, т.к. в ее основании лежит пятиугольник.

Диагональной
плоскостью призмы принято называть плоскость, проходящую через диагональ
основания и боковое ребро призмы, а фигуру, полученную при пересечении этой
плоскости с поверхностью призмы, называют диагональным сечением призмы: BB₁D₁D (рисунок 8).

Объемы фигур. Объем куба.

Куб — трехмерная геометрическая фигура, у которой все ребра равны (длина равна ширине и равна высоте).

У куба шесть квадратных граней, которые пересекаются под прямым углом и стороны которых равны.

Вычислить объем куба легко – нужно перемножить длину, ширину и высоту. Так как у куба длина равна

ширине и равна высоте, то объем куба равен s 3 ,

где s – длина одного (любого) ребра куба.

Воспользуйтесь онлайн калькулятором для расчета объема куба: объем куба, онлайн расчет.

Для расчета объемов других тел воспользуйтесь этим калькулятором: калькулятор объемов фигур.

Метод 1 из 3: Возведение в куб ребра куба

Найдите длину одного ребра куба. Как правило, длина ребра куба дана в условии задачи. Если вы

вычисляете объем реального объекта кубической формы, измерьте его ребро линейкой или рулеткой.

Рассмотрим пример. Ребро куба равно 5 см. Найдите объем куба.

Возведите в куб длину ребра куба. Другими словами, умножьте длину ребра куба саму на себя три раза.

Если s — длина ребра куба, то

и, таким образом, вы вычислите объем куба.

Этот процесс аналогичен процессу нахождения площади основания куба (равна произведению длины на

ширину квадрата в основании) и последующему умножению площади основания на высоту куба (то есть,

другими словами, вы умножаете длину на ширину и на высоту). Так как в кубе длина ребра равна ширине и

равна высоте, то это процесс можно заменить возведением ребра куба в третью степень.

В нашем примере объем куба равен:

К ответу припишите единицы измерения объема. Так как объем – это количественная

характеристика пространства, занимаемого телом, то единицами измерения объема являются кубические

В нашем примере размер ребра куба давался в сантиметрах, поэтому объем будет измеряться в кубических

сантиметрах (или в см 3 ). Итак, объем куба равен 125 см 3 .

Если размер ребра куба дается в других единицах, то и объем куба измеряется в соответствующих

Например, если ребро куба равно 5 м (а не 5 см), то его объем равен 125 м 3 .

Метод 2 из 3: Вычисление объема по площади поверхности

В некоторых задачах длина ребра куба не дана, но даны другие величины, с помощью которых вы

можете найти ребро куба и его объем. Например, если вам дана площадь поверхности куба, то разделите

ее на 6, из полученного значения извлеките квадратный корень и вы найдете длину ребра куба. Затем

возведите длину ребра куба в третью степень и вычислите объем куба.

Площадь поверхности куба равна 6s 2 ,

где s – длина ребра куба (то есть вы находите площадь одной грани куба, а затем умножаете ее на 6, так

как у куба 6 равных граней).

Рассмотрим пример. Площадь поверхности куба равна 50 см 2 . Найдите объем куба.

Разделите площадь поверхности куба на 6 (так как у куба 6 равных граней, вы получите площадь

одной грани куба). В свою очередь площадь одной грани куба равна s 2 , где s – длина ребра куба.

В нашем примере: 50/6 = 8,33 см 2 (не забывайте, что площадь измеряется в квадратных единицах — см 2 ,

Так как площадь одной грани куба равна s 2 , то извлеките квадратный корень из значения площади

одной грани и получите длину ребра куба.

В нашем примере, √8,33 = 2,89 см.

Возведите в куб полученное значение, чтобы найти объем куба.

В нашем примере: 2,89 * 2,89 * 2,89 = 2,893 = 24,14 см 3 . К ответу не забудьте приписать кубические

Метод 3 из 3: Вычисление объема по диагонали

Разделите диагональ одной из граней куба на √2, чтобы найти длину ребра куба. Таким образом,

если в задаче дана диагональ грани (любой) куба, то вы можете найти длину ребра куба, разделив

Рассмотрим пример. Диагональ грани куба равна 7 см. Найдите объем куба. В этом случае длина ребра куба

равна 7/√2 = 4,96 см. Объем куба равен 4,963 = 122,36 см 3 .

где d — диагональ грани куба, s – ребро куба. Эта формула вытекает из теоремы Пифагора, согласно

которой квадрат гипотенузы (в нашем случае диагональ грани куба) прямоугольного треугольника равен

сумме квадратов катетов (в нашем случае ребер), то есть:

Разделите диагональ куба на √3, чтобы найти длину ребра куба. Таким образом, если в задаче

дана диагональ куба, то вы можете найти длину ребра куба, разделив диагональ на √3.

Диагональ куба — отрезок, соединяющий две вершины, симметричные относительно центра куба, равный

(где D — диагональ куба, s – ребро куба).

Эта формула вытекает из теоремы Пифагора, согласно которой квадрат гипотенузы (в нашем случае

диагональ куба) прямоугольного треугольника равен сумме квадратов катетов (в нашем случае один катет –

это ребро, а второй катет – это диагональ грани куба, равная 2s 2 ), то есть

Рассмотрим пример. Диагональ куба равна 10 м. Найдите объем куба.

Проекции конусов

Нагляднее изображение прямого кругового ко­нуса показано на рис. 167, а. Боковая поверхность конуса получена вращением отрезка BS вокруг оси, пересекающей отрезок в точке S. Последова­тельность построения двух проекций конуса пока­зана на рис. 167, б и в. Сначала строят две проекции основания. Горизонтальная проекция основа­ния — окружность. Фронтальной проекцией будет отрезок горизонтальной прямой, равный диаметру этой окружности (рис. 167, б). На фронтальной проекции из середины основания восставляют перпендикуляр и на нем откладывают высоту конуса (рис. 167, в). Полученную фронтальную проекцию вершины конуса соединяют прямыми с концами фронтальной проекции основания и по­лучают фронтальную проекцию конуса.

Рис. 167

Если на поверхности конуса задана одна проек­ция точки А (например, фронтальная проекция на рис. 168, а). то две другие проекции этой точки определяют с помощью вспомогательных линий — образующей, расположенной на поверхности ко­нуса и проведенной через точку А, или окружнос­ти, расположенной в плоскости, параллельной основанию конуса.

В первом случае (рис 168. а) проводят фрон­тальную проекцию s’a’f ’ вспомогательной обра­зующей. Пользуясь вертикальной линией связи, проведенной из точки f, расположенной на фрон­тальной проекции окружности основания, находят горизонтальную проекцию sf этой образующей, на которой с помощью линии связи, проходящей через а’, находят искомую точку а.

Во втором случае (рис. 168. б) вспомогательной линией, проходящей через точку А, будет окруж­ность. расположенная на конической поверхности и параллельная плоскости Н. Фронтальная проек­ция этой окружности изображается в виде отрезка Ь’с’ горизонтальной прямой, величина которого равна диаметру вспомогательной окружности. Искомая горизонтальная проекция а точки А на­ходится на пересечении линии связи, опущенной из точки а’, с горизонтальной проекцией вспомо­гательной окружности.

Если заданная фронтальная проекция Ь’ точки В расположена на контурной (очерко­вой) образующей SK, то горизонтальная проекция точки находится без вспомогательных линий (рис. 168. б).

В изометрической проекции точку А, находя­щуюся на поверхности конуса, строят по трем координатам (рис. 168, в): x_А = n, y_А = m, z_А = h. Эти координаты последовательно откладывают по направлениям, параллельным изометрическим осям. В рассматриваемом примере от точки О по оси х отложена координата x_А = n; из конца ее параллельно оси у проведена прямая, на которой отложена координата y_А = m; из конца отрезка, равного т, параллельно оси z проведена прямая, на которой отложена координата z_А = h. В резуль­тате построений получим искомую точку А.

Рис. 168

Правила построения геометрических тел

Геометрическое тело представляют в виде проекций на выбранные плоскости, называемые плоскостями проекций.

Чтобы верно и понятно построить изображение геометрического тела, необходимо соблюдать ряд важных правил. Рисунок должен быть:

1. Наглядным, то есть давать наиболее полное представление о внешнем виде тела.
2. Обратимым, то есть по чертежу можно восстановить характеристики объекта: форму, размер и т. д.
3. Простым или доступным, то есть чертеж достаточно легко выполнить.

Чаще всего для построения перспектив объемного тела используют методику, основанную на ортогональном проектировании. Если говорить кратко, суть метода заключается в параллельном проектировании с помощью прямых, перпендикулярных заданным плоскостям проекции.

Формы геометрических тел

Деталь любой формы можно представить как совокупность отдельных геометрических тел.

Для примера возьмем деталь (рис. 159. а) и проанализируем се форму. Мысленно разделив ее на отдельные элементы, получим следующие гео­метрические тела (рис. 159, б): 1 — усеченный прямой круговой конус с цилиндрическим отвер­стием, 2 — прямой круговой цилиндр, 3 — прямо­угольный параллелепипед, 4 — два прямоугольных параллелепипеда с цилиндрическими отверстия­ми, 5 — два полых полуцилиндра. Для выполне­ния комплексных чертежей необходимо усвоить методы проецирования отдельных геометрических тел, а также точек и линий, расположенных на поверхности этих тел.

Рис. 159

Геометрические тела, ограниченные плоскими многоугольниками, называются многогранниками (рис. 160, а). Эти многоугольники называются гранями, их пересечения — ребрами. Угол, образо­ванный гранями, сходящимися в одной точке — вершине, называется многогранным углом.

Тела вращения ограничены поверхностями, которые получаются в результате вращения ка­кой-либо линии вокруг неподвижной оси (рис. 160, б и в). Линия АВ, которая при своем движении образует поверхность, называется обра­зующей. Наиболее часто встречаются такие тела вращения, как цилиндр, конус, шар, тор.

Рис. 160

Пирамида

6. Пирамидой называется многогранник, у которого одна грань (основание) — \(n\)—угольник, а остальные \(n\) граней (боковые) — треугольники с общей вершиной. Пирамиды подразделяются на треугольные, четырехугольные, пятиугольные и т. д. в зависимости от количества сторон основания. Тетраэдер – другое название треугольной пирамиды.Высотой пирамиды называется перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на основание.

7. Пирамида называется правильной, если ее боковые ребра равны, а в основании лежит правильный многоугольник.
Основание высоты правильной пирамиды совпадает с центром ее основания, углы наклона боковых ребер к основанию равны, двугранные углы при основании равны, все боковые грани — равные равнобедренные треугольники. Апофема – высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из её вершины к ребру основания.

8. Площадь боковой поверхности пирамиды равна сумме площадей ее боковых граней: \(S_{бок}= S_1+ S_2+…+ S_n\).
Площадь полной поверхности пирамиды равна сумме площади боковой поверхности и площади основания: \(S_{полн} = S_{бок}+ S_{осн}\).

9. Объем произвольной пирамиды равен произведению одной трети площади основания на высоту: \(V=\frac{1}{3} S_{осн}\cdot h\).

Cube Formula — Что такое Cube Formula? Примеры

Формула куба помогает нам найти площадь поверхности, диагонали и объем куба. Куб числа непосредственно отражает объем куба, имеющего длину ребра, равную данному числу.

Что такое формула куба?

Куб является одним из пяти платоновых тел и также известен как правильный шестигранник.

Формула куба

Объем куба

Объем куба можно рассчитать с использованием различных формул на основе заданных параметров. Его можно рассчитать, используя длину стороны, а также размер диагонали куба.

• Объем куба (на основе длины стороны) = a 3  кубических дюймов, где a – длина стороны куба
• Объем куба (по диагонали) = (√3×d 3 )/9кубических дюймов, где d — длина диагонали куба

Боковая площадь куба

Боковая площадь куба равна сумме площадей всех боковых граней куба.

LSA куба = 4a 2

, где a — длина стороны.

Общая площадь куба

Общая площадь поверхности куба будет равна сумме площади основания и площади вертикальных поверхностей куба. Поскольку все грани куба состоят из квадратов одинакового размера, то общая площадь поверхности куба будет равна площади поверхности одной грани, сложенной с самой собой в пять раз. Таким образом, формула для нахождения площади поверхности куба:

Общая площадь поверхности (TSA) куба = 6a 2

, где a — длина стороны.

Диагональ куба

Куб имеет диагонали двух разных длин, более короткие лежат на квадратных гранях, а более длинные проходят через центр. Главной диагональю куба называется та, которая проходит через центр, который можно найти, умножив длину одной стороны на квадратный корень из 3.

Диагональ куба = a√3

Давайте лучше разберемся с формулами куба на нескольких решенных примерах.

Хотите найти сложные математические решения за считанные секунды?

Воспользуйтесь нашим бесплатным онлайн-калькулятором, чтобы решить сложные вопросы. С Cuemath находите решения простыми и легкими шагами.

Запись на бесплатный пробный урок

Примеры с использованием формулы куба

Пример 1: Найдите объем кубика Рубика длиной 4 дюйма. Решение:

Чтобы найти объем кубика Рубика: кубик Рубика0003

Длина стороны куба = 4 дюйма (дано)

Используя формулу куба, объем = с × с × с = с 3

Поместите значения,

объем = 4 × 4 × 4 = 4 3  = 64

Ответ: Объем кубика Рубика составляет 64 кубических дюйма.

Пример 2: Размеры куба – 64 дюйма. Найдите его диагональ по формуле куба. Решение: 

Чтобы найти диагональ куба:

Размеры куба: длина (l) = ширина (w) = высота (h) = 64 дюйма (данные)

Используя формулу куба,

диагональ = a√3 

Поместите значения,

Диагональ = 64√3 = 110,848 дюйма

Ответ: Диагональ куба равна 110,848 дюйма

Пример 3: Найдите общую площадь поверхности куба, если длина стороны куба равна 25 дюймам.

Решение:

Длина стороны куба, a = 25 дюймов 

Используя формулу площади куба, а именно: A = 6a 2

Поместите значения,

A = 6 × 25 × 25 = 3750 квадратных дюймов

Ответ: Площадь поверхности куб равен 3750 квадратных дюймов.

Часто задаваемые вопросы о формуле куба

Что такое формула куба?

Формула куба помогает нам найти площадь поверхности, диагонали и объем куба. Это простые формулы, зависящие в основном от одного параметра — длины ребра или стороны куба.

Как рассчитать диагональ куба по формуле куба?

Главную диагональ куба , пересекающую центр, можно найти, умножив длину одной стороны на квадратный корень из 3. Таким образом, диагональ куба = a√3, где a – ребро куба. .

Что такое s в формуле куба?

В формуле куба s относится к ребру куба. Все формулы куба — объем, площадь поверхности и диагонали — зависят от ребра куба, представленного как s, так и a.

Как вывести формулу куба?

Чтобы вычислить объем по формуле куба,

• Шаг 1: Рассмотрим любой квадратный лист бумаги.
• Шаг 2: Теперь площадь, покрытая этим квадратным листом, будет равна площади его поверхности, т. е. его длине, умноженной на его ширину. Оба одинаковы в случае куба. Таким образом, площадь поверхности будет равна «s 2 ».
• Шаг 3: Куб получается путем складывания нескольких квадратных листов таким образом, чтобы высота стала равной длине и ширине, т. е. единицам «s». Таким образом, высота или толщина куба равна «s».

Таким образом, можно сделать вывод, что общее пространство, занимаемое кубом, то есть объем, равно площади основания, умноженной на высоту. Объем куба = s 2  × s = s 3

Чтобы вывести формулу поверхности куба,

• Шаг 1. Рассмотрим любой лист бумаги квадратной формы.
• Шаг 2: В случае квадрата, поскольку длина и ширина равны, площадь поверхности будет равна «s 2 » (длина, умноженная на ширину).
• Шаг 3: Поскольку у куба 6 граней, общая площадь поверхности куба равна площади одной грани, умноженной на 6 = 6s 2

Многогранники

В памятниках вавилонской и древнеегипетской архитектуры встречаются такие геометрические фигуры, как куб, параллелепипед, призма. Важнейшей задачей египетской и вавилонской геометрии было определение объема различных пространственных фигур. Эта задача отвечала необходимости строить дома, дворцы, храмы и другие сооружения.

Часть геометрии, в которой изучаются свойства куба, призмы, параллелепипеда и других геометрических тел и пространственных фигур, издавна называется стереометрией; Слово это греческого происхождения и встречается еще у знаменитого древнегреческого философа Аристотеля. Стереометрия возникла позже, чем планиметрия. Евклид дает следующее определение призмы: «Призма есть телесная фигура, заключенная между плоскостями, из которых две противоположные равны и параллельны, остальные же -параллелограммы». Тут, как и во многих других местах, Евклид употребляет термин «плоскость» не в смысле безгранично продолженной плоскости, а в смысле ограниченной ее части, грани, подобно тому как «прямая» означает у него и отрезок прямой.

Термин «призма» греческого происхождения и буквально означает «отпиленное» . Термин «параллелепипедальное тело» встречается впервые у Евклида и означает дословно «параллеле-плоскостное тело». Греческое слово «кубос» употребляется Евклидом в том же смысле, что и наше слово «куб».

Поверхность составленную из многоугольников и ограничивающую некоторое геометрическое тело, будет называть многогранной поверхностью или многогранником. Виды многогранников: параллелепипед, призма, пирамида.

Слайд 23Пирамиды – а они построены более 5 тыс. лет назад –

состоят из каменных блоков весом 15 тонн, и эти «кирпичики» так подогнаны друг к другу, что не возможно между ними протиснуть и почтовую открытку. А при строительстве использовали лишь простейшие механизмы – рычаги и катки.«Все боится времени, но само время боится пирамид».В Вавилоне при раскопках ученые обнаружили остатки каменных стен, высотой в несколько десятков метров, а высота Вавилонской башни достигает 82 метра.Даже самое большое здание складывается из маленьких кирпичей, так и сложные геометрические фигуры составляются из простейших фигур.Конечно, самая главная — это точка.

Параллелепипед

Определение: Параллелепипед – это призма, основания которой параллелограммы. В этом определении ключевым словом является «призма». Таким образом, параллелепипед – это частный случай призмы, которая отличается от общего случая только тем, что в основании у нее не произвольный многоугольник, а именно параллелограмм. Поэтому все приведенные выше свойства, формулы и определения касающиеся призмы остаются актуальными и для параллелепипеда. Однако, можно выделить несколько дополнительных свойств характерных для параллелепипеда.

Другие свойства и определения:

• Две грани параллелепипеда, не имеющие общего ребра, называются противолежащими, а имеющие общее ребро – смежными.
• Две вершины параллелепипеда, не принадлежащие одной грани, называются противолежащими.
• Отрезок, соединяющий противолежащие вершины, называется диагональю параллелепипеда.
• Параллелепипед имеет шесть граней и все они – параллелограммы.
• Противоположные грани параллелепипеда попарно равны и параллельны.
• У параллелепипеда четыре диагонали; они все пересекаются в одной точке, и каждая из них делится этой точкой пополам.
• Если четыре боковые грани параллелепипеда – прямоугольники (а основания – произвольные параллелограммы), то он называется прямым (в этом случае, как и у прямой призмы, все боковые ребра перпендикулярны основаниям). Все свойства и формулы для прямой призмы актуальны для прямого параллелепипеда.
• Параллелепипед называется наклонным, если не все его боковые грани являются прямоугольниками.
• Объем прямого или наклонного параллелепипеда рассчитывается по общей формуле для объема призмы, т.е. равен произведению площади основания параллелепипеда на его высоту (V = S_осн∙h).
• Прямой параллелепипед, у которого все шесть граней – прямоугольники (т.е. кроме боковых граней еще и основания являются прямоугольниками), называется прямоугольным

  Диагональ прямоугольного параллелепипеда d и его рёбра a, b, c связаны соотношением:

  . Для прямоугольного параллелепипеда актуальны все свойства прямого параллелепипеда, а также:

d2 = a2 + b2 + c2.

• Прямоугольный параллелепипед, все грани которого являются равными квадратами, называется кубом. Помимо прочего, куб является правильной четырехугольной призмой, и вообще правильным многогранником. Для куба справедливы все свойства прямоугольного параллелепипеда и свойства правильных призм, а также:

  • Абсолютно все рёбра куба равны между собой.
  • Диагональ куба d и длина его ребра a связаны соотношением:

Из формулы для объема прямоугольного параллелепипеда можно получить следующую формулу для объема куба:

Формулы объема цилиндра, шара, конуса — площадь поверхности и основания

Тела вращения, изучаемые в школе, — это цилиндр, конус и шар.

Если в задаче на ЕГЭ по математике вам надо посчитать объем конуса или площадь сферы — считайте, что повезло.

Применяйте формулы объема и площади поверхности цилиндра, конуса и шара. Все они есть в нашей таблице. Учите наизусть. Отсюда начинается знание стереометрии.

Например, такой важный факт:

Если все линейные размеры объемного тела увеличить в 2 раза, то площадь его поверхности увеличится в 4 раза, а объем — в 8 раз. 

(ведь , ).

Вот такая задача.

1. Объем конуса равен . Через середину высоты параллельно основанию конуса проведено сечение, которое является основанием меньшего конуса с той же вершиной. Найдите объем меньшего конуса.Очевидно, что объем меньшего конуса в раз меньше объема большого и равен двум.

Для решения некоторых задач полезны начальные знания стереометрии. Например — что такое правильная пирамида или прямая призма. Полезно помнить, что у цилиндра, конуса и шара есть еще общее название — тела вращения. Что сферой называется поверхность шара. А, например, фраза «образующая конуса наклонена к плоскости основания под углом 30 градусов предполагает, что вы знаете, что такое угол между прямой и плоскостью. Вам также может пригодиться теорема Пифагора и простые формулы площадей фигур.

Иногда неплохо нарисовать вид сверху. Или, как в этой задаче, — снизу.

2. Во сколько раз объем конуса, описанного около правильной четырехугольной пирамиды, больше объема конуса, вписанного в эту пирамиду?

Говорят, что хороший чертеж — это уже половина решения. Читайте о том, как строить чертежи в задачах по стереометрии.

Еще один важный момент. Помним, что в задачах части В вариантов ЕГЭ по математике ответ записывается в виде целого числа или конечной десятичной дроби. Поэтому никаких или у вас в ответе в части В быть не должно. Подставлять приближенное значение числа тоже не нужно! Оно обязательно должно сократиться! Именно для этого в некоторых задачах задание формулируется, например, так: «Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, деленную на ».

А где же еще применяются формулы объема и площади поверхности тел вращения? Конечно же, в задаче 14 Профильного ЕГЭ по математике.Мы тоже расскажем о ней.

Спасибо за то, что пользуйтесь нашими материалами.
Информация на странице «Формулы объема и площади поверхности.

Публикация обновлена:
08.04.2023

Пирамида

Важным и интересным семейством многогранников является пирамида. У пирамиды различают основание и боковые грани. Боковые грани – треугольники, сходящиеся в одной вершине, а основание – многоугольник, противолежащий этой вершине. В основании может лежать многоугольник с любым количеством сторон. Пирамиду называют по числу сторон ее основания: треугольная пирамида, четырехугольная пирамида, шестиугольная пирамида… Простейшей пирамидой и даже простейшем многогранником является треугольная пирамида. Все ее грани – треугольники, и каждая из них может считаться основанием.

Пирамида называется правильной, если ее основание – правильный многоугольник, и вершина пирамиды проектируется в центр этого многоугольника. Все боковые ребра правильной пирамиды равны, а боковые грани являются равными равнобедренными треугольниками.

Многогранник, гранями которого является многоугольники , расположенные в параллельных плоскостях, и четырехугольников — боковые грани называют усеченной пирамидой.

Типы геометрических тел

Параллелепипед — это геометрическое тело, у которого 6 граней являются прямоугольниками. Параллелепипеды могут быть прямоугольными или квадратными.

Куб — это параллелепипед, у которого все 6 граней являются квадратами. Все стороны куба одинаковой длины.

Цилиндр — это геометрическое тело, у которого две окружности параллельны друг другу и соединены прямоугольной поверхностью. Цилиндр может быть высоким или низким, круглым или овальным.

Шар — это геометрическое тело, у которого все точки на поверхности расположены одинаково от центра. Шар имеет форму круга в трех измерениях.

Пирамида — это геометрическое тело, у которого одна грань является многоугольником, а все другие грани являются треугольниками, которые сходятся в вершине. Пирамиды могут иметь любое количество боковых граней.

Конус — это геометрическое тело, у которого одна окружность является основанием, а все остальные поверхности сходятся в вершине. Конусы могут быть высокими или низкими, круглыми или овальными.

Существует множество других типов геометрических тел, таких как тетраэдр, октаэдр, додекаэдр, ихосаэдр, вселенная, фигуры из Пенроуза и многие другие.

Определение геометрического тела

Такие понятия, как луч, отрезок, ломаная, кривая встречаются довольно часто в различных науках: математике, алгебре, физике и химии (траектория движения, графики и т.д.).

Все перечисленные фигуры можно представить как множество точек.

Любую фигуру в геометрии можно представить как множество точек, сгруппированных определенным образом.

Разберем понятие геометрического тела.

Представленный выше вариант определения геометрических тел не единственный. Иногда используют следующее определение: геометрическое тело — множество сгруппированных точек, из которых две любые точки образуют отрезок, не выходящий за границы тела.

Фигура тетраэдр: описание

Под геометрической фигурой тетраэдр понимают объемное тело, образованное 4-мя гранями. Исходя из свойств пространства, такие грани могут представлять только треугольники. Таким образом, тетраэдр является частным случаем пирамиды, у которой в основании лежит треугольник.

Если все 4-ре треугольника, образующие грани тетраэдра, являются равносторонними и равными между собой, то такой тетраэдр называется правильным. Этот тетраэдр имеет 4 грани и 4 вершины, число ребер составляет 4 + 4 — 2 = 6. Применяя стандартные формулы из плоской геометрии для рассматриваемой фигуры, получаем: V = a 3 * √2/12 и S = √3*a 2 , где a — длина стороны равностороннего треугольника.

Интересно отметить, что в природе некоторые молекулы имеют форму правильного тетраэдра. Например, молекула метана CH 4 , в которой атомы водорода расположены в вершинах тетраэдра, и соединены с атомом углерода ковалентными химическими связями. Атом углерода находится в геометрическом центре тетраэдра.

Простая в изготовлении форма фигуры тетраэдр используется также в инженерии. Например, тетраэдрическую форму используют при изготовлении якорей для кораблей. Отметим, что космический зонд НАСА, Mars Pathfinder, который совершил посадку на поверхность Марса 4 июля 1997 года, также имел форму тетраэдра.

Проекции шара

На рис. 169, а изображена половина шара, сферическая поверхность этого шара образована вращением четверти окружности АВ вокруг ради­уса АО.

Проекции этой фигуры приведены на рис. 169, б. Горизонтальная проекция — окруж­ность радиуса, равного радиусу сферы, а фрон­тальная — полуокружность того же радиуса.

Если точка А расположена на сферической поверхности (рис. 169, в), то вспомогательная линия Ь’с’, проведенная через эту точку параллельно горизонтальной плоскости проекций, прое­цируется на горизонтальную плоскость проекций окружностью. На горизонтальной проекции вспо­могательной окружности находят с помощью ли­нии связи искомую горизонтальную проекцию а точки А.

Величина диаметра вспомогательной окружнос­ти равна фронтальной проекции Ь’с’.

Рис. 169

5.5.7 Объём куба, прямоугольного параллелепипеда, пирамиды, призмы, цилиндра, конуса, шара

Видеоурок: Объем и площадь поверхности многогранников

Лекция: Объём куба, прямоугольного параллелепипеда, пирамиды, призмы, цилиндра, конуса, шара

Для нахождения объема любого тела необходимо произведение трех параметров тела. Именно поэтому, чтобы проверить правильность решения, следует убедиться в том, что в выведенной Вами формуле оказалось в виде множителя три параметра тела.

Куб

Для нахождения объема куба следует перемножить три стороны. Так как в кубе все они равны, следует просто возвести значение стороны в куб: V = a 3

Прямоугольный параллелепипед

Так как в данной фигуре все углы прямые, то её объем находится просто, как произведение всех сторон: V = abc

Пирамида и конус

Как уже говорилось ранее, эти две фигуры очень похожи. Различие только в том, что у нее разные основания.

Объем пирамиды и конуса находится, как третья произведения площади основания на высоту: V = S_ocH/3

Для пирамиды данная формула изменяется в зависимости от многоугольника, который будет находится в основании.

У конуса же данная формула стандартна, поскольку в его основании лежит окружность: V = πR 2 H/3

Цилиндр

Для нахождения объема цилиндра необходимо найти произведение площади основания на высоту. Так как в основании лежит окружность, получается следующая формула: V = πR 2 H

Не трудно заметить, что формула цилиндра очень похожа на формулу для нахождения объема конуса.

Призма

Как и в нескольких предыдущих случаях, объем призмы находится, как произведение основания на высоту

И не важно, прямая ли эта призма или нет

Данная формула видоизменяется в зависимости от того, какой многоугольник лежит в основании. Формула очень похожа на формулу нахождения объема пирамиды: V = S_ocH

Шар

Для нахождения объема шара достаточно воспользоваться несложной формулой: V = 4/3*πR 3

1 Предмет стереометрии, основные понятия

Планиметрия – раздел
геометрии, в котором изучаются свойства фигур на плоскости (плоских фигур).

Стереометрия – раздел
геометрии, в котором изучаются свойства фигур в пространстве (пространственных
фигур).

Слово
«стереометрия» состоит из греческих слов «стереос» — телесный, пространственный
и «метрео» — измеряю. Основные понятия стереометрии: точка, прямая и плоскость. При изучении стереометрии будем
пользоваться рисунками, чертежами, которые помогут понять, представить и
проиллюстрировать то, о чем идет речь в задаче. 
Точки обозначают прописными буквами латинского алфавита ; прямые – либо
двумя прописными буквами латинского алфавита либо строчными буквами ; плоскости
– либо прописными буквами латинского алфавита ABC, MNP, … либо буквами
греческого алфавита α, , β, γ ,… . Плоскости на рисунках изображают в виде
параллелограмма или в виде произвольной области (рисунок 1а и 1б), прямые
изображаются так же, как в планиметрии.

Фигурой называется
всякое множество точек, прямых и плоскостей в пространстве. В свою очередь, прямая,
плоскость – множества точек. Пространство – множество всех точек.
Геометрическая фигура называется пространственной, если не все точки ее лежат в
одной плоскости. Примером пространственной фигуры может служить геометрическое
тело – часть пространства, занимаемого предметом. Геометрическое тело
отделяется от окружающего пространства поверхностью. Две геометрические фигуры называются равными, если их можно совместить
так, чтобы они совпали всеми своими частями. В предложениях такие слова,
как,   «принадлежать», «совпадать», «проходить»,
«пересекать», «параллельны», «перпендикулярны», выражают отношения между
точками, прямыми и плоскостями. Обычно используют обозначения:

 ∈ – знак
принадлежности. Так, запись A∈a (или A∈α)
означает, что точка A принадлежит прямой a (или плоскости α ).

 ⊂ – знак
включения. Так, запись a ⊂ α означает, что множество точек прямой
a включается во множество точек плоскости α.

∩
– знак пересечения. Например, запись α ∩ β =а означает пересечение плоскостей α
и β по прямой а.

║
— знак параллельности. Так, запись а ║ с означает, что прямая а параллельна
прямой с.

┴
− знак перпендикулярности. Например, запись a ┴ b означает, что прямая a перпендикулярна
прямой  b.

Ø
– знак обозначает пустое множество. Например, запись а

 с = Ø означает, что пересечением прямой а и с
является пустое множество.