Многогранники и их свойства. профильный уровень 10 класс онлайн-подготовка на ростелеком лицей

Содержание

1 Правильные многогранники
- 1.1 Платоновы тела
- 1.2 Многогранники Кеплера – Пуансо
- 1.3 Регулярные соединения
2 Характеристики
- 2.1 Эквивалентные свойства
- 2.2 Концентрические сферы
- 2.3 Симметрия
- 2.4 Эйлерова характеристика
- 2.5 Внутренние точки
3 Двойственность правильных многогранников
4 История
- 4.1 Предыстория
- 4.2 Греки
- 4.3 Правильные звездные многогранники
5 Правильные многогранники в природе
6 Дальнейшие обобщения
- 6.1 Правильные косые апейроэдры
- 6.2 Правильные косые многогранники
- 6.3 Правильные многогранники в неевклидовом и других пространствах
  - 6.3.1 Правильные многогранники в гиперболическом пространстве
  - 6.3.2 Правильные мозаики вещественной проективной плоскости
- 6.4 Абстрактные правильные многогранники
- 6.5 Сферические многогранники
7 См. Также
8 Ссылки
9 Внешние ссылки

История

Предыстория

Камни, вырезанные по форме, напоминающей группы сфер или шишек, были найдены в Шотландии, и им может быть около 4000 лет.. Некоторые из этих камней демонстрируют не только симметрии пяти Платоновых тел, но и некоторые из отношений дуальности между ними (то есть, центры граней куба дают вершины октаэдра). Примеры этих камней выставлены в зале Джона Эванса Эшмоловского музея в Оксфордском университете. Почему были созданы эти предметы и как их создатели черпали вдохновение для них, остается загадкой. Есть сомнения относительно математической интерпретации этих объектов, поскольку многие из них имеют неплатонические формы, и, возможно, только один из них оказался истинным икосаэдром, в отличие от повторной интерпретации дуального икосаэдра, додекаэдра.

Также возможно, что этруски предшествовали грекам в их знании по крайней мере некоторых правильных многогранников, о чем свидетельствует открытие около Падуи (в Северной Италии ) в конце 19 века из додекаэдра, сделанного из мыльного камня, возраст которого превышает 2500 лет (Lindemann, 1987).

Греки

Самые ранние известные письменные упоминания о правильных выпуклых телах происходят из классической Греции. Когда все эти твердые тела были открыты и кем неизвестно, но Теэтет (афинянин ) был первым, кто дал математическое описание всех пяти (Van der Waerden, 1954), (Евклид, книга XIII). Х.С.М. Коксетер (Coxeter, 1948, раздел 1.9) приписывает Платону (400 г. до н.э.) создание их моделей и упоминает, что один из более ранних пифагорейцев, Тимей Локри, использовал все пять в соответствии между многогранниками и природой вселенной, как она тогда воспринималась — это соответствие записано в диалоге Платона Тимей. Ссылка Евклида на Платона привела к их обычному описанию как платоновых тел.

Греческое определение можно охарактеризовать следующим образом:

Правильный многоугольник — это (выпуклая ) плоская фигура со всеми равными краями и всеми углами.
A правильный многогранник — это сплошная (выпуклая) фигура, все грани которой являются конгруэнтными правильными многоугольниками, одно и то же число расположено одинаково вокруг каждой вершины.

Это определение исключает, например, квадратную пирамиду (поскольку хотя все грани правильные, квадратное основание не совпадает с треугольными сторонами) или форма, образованная соединением двух тетраэдров вместе (поскольку, хотя все грани этой треугольной бипирамиды были бы равносторонними треугольниками, то есть, конгруэнтные и правильные, одни вершины имеют 3 треугольника, а другие 4).

Эта концепция правильного многогранника оставалась неизменной почти 2000 лет.

Правильные звездные многогранники

Правильные звездные многоугольники, такие как пентаграмма (звездный пятиугольник), также были известны древним грекам — использовалась пентаграмма пифагорейцами в качестве своего тайного знака, но они не использовали их для построения многогранников. Лишь в начале 17 века Иоганн Кеплер понял, что пентаграммы можно использовать как грани правильных звездных многогранников. Некоторые из этих звездных многогранников могли быть открыты другими до времени Кеплера, но Кеплер был первым, кто осознал, что их можно считать «правильными», если убрать ограничение, что правильные многогранники выпуклые. Двести лет спустя Луи Пуансо также разрешил звездные вершинные фигуры (обходы вокруг каждого угла), что позволило ему открыть два новых правильных звездных многогранника наряду с повторным открытием Кеплера. Эти четыре — единственные правильные звездчатые многогранники, получившие название многогранников Кеплера – Пуансо. Лишь в середине XIX века, через несколько десятилетий после публикации «Пуансо», Кэли дал им их современные английские названия: (Кеплера) малый звездчатый додекаэдр и большой звездчатый додекаэдр, и ( Пуансо) большой икосаэдр и большой додекаэдр.

Многогранники Кеплера – Пуансо могут быть построены из платоновых тел с помощью процесса, называемого звездчатой . Обратный процесс звездчатости называется фасетированием (или фасетированием). Каждая звездчатость одного многогранника двойственна, или обратна некоторой грани двойного многогранника. Правильные звездные многогранники также можно получить, ограняя платоновы тела. Впервые это сделал Бертран примерно в то же время, когда Кэли дал им имя.

Таким образом, к концу XIX века правильных многогранников было девять — пять выпуклых и четыре звездных.

5.3.5 Представление о правильных многогранниках (тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр и икосаэдр)

Лекция: Представление о правильных многогранниках (тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр и икосаэдр)

В школьном курсе геометрии изучается пять основных многогранников. На рисунке ниже Вы можете ознакомится с каждым из них. Название всех многогранников исходит из количества граней.

Тетраэдр

Тетраэдр – это правильный многогранник, который имеет грани в виде треугольников, именно поэтому в каждой вершине такой фигуры сходится 3 ребра.

Октаэдр

Октаэдр – правильный многогранник, который так же имеет грани в виде правильных треугольников, однако, в каждой вершине сходится по четыре ребра.

Гексаэдр (куб)

Гексаэдр (куб) – многогранник, гранями которого является квадрат.

Икосаэдр

Икосаэдр – многогранник, гранями которого являются равносторонние треугольники.

Додекаэдр

Додекаэдр – многогранник, гранями которого являются правильные шестиугольники.

Слайд 9Некоторые свойства правильных многогранников.В выпуклом многограннике все грани – выпуклые многоугольники.2.

Выпуклый многогранник может быть представлен из пирамид с общей вершиной, основания которых образуют поверхность многогранника. 3. Выпуклый многогранник лежит по одну сторону от плоскости каждой своей грани. 4. В 1752 году Леонард Эйлер доказал свойство, связывающее число его вершин, ребер и граней, получившее название теоремы Эйлера, справедливой для любого выпуклого многогранника. Число вершин – число ребер + число граней = 2 (1)5. Других видов правильных многогранников – нет.6. Правильным многогранникам свойственна двойственность: если считать центры граней тетраэдра вершинами нового многогранника, то вновь получится тетраэдр; центры граней куба образуют октаэдр; центры граней октаэдра образуют куб; центры граней додекаэдра образуют икосаэдр; центры граней икосаэдра – додекаэдр.Кроме того, ребра правильного многогранника равны между собой и равны также все двугранные углы, содержащие две грани с общим ребром.

Почему правильные многогранники получили такие названия

Это связано с числом их граней. В переводе с греческого языка:

эдрон — грань, окто — восемь, значит, октаэдр — восьмигранник

тетра — четыре, поэтому тетраэдр — пирамида, состоящая из четырех равносторонних треугольников,

додека — двенадцать, додекаэдр состоит из двенадцати граней,

гекса — шесть, куб — гексаэдр, так как у него шесть граней,

икоси — двадцать, икосаэдр — двадцатигранник.

Совершенство форм, красивые математические закономерности, присущие правильным многогранникам, явились причиной того, что им приписывались различные магические свойства

Они занимали важное место в философской концепции Платона об устройстве мироздания. Четыре многогранника олицетворяли в ней четыре сущности или «стихии»

Тетраэдр символизировал огонь, т.к. его вершина устремлена вверх; икосаэдр — воду, т.к. он самый «обтекаемый»; куб — землю, как самый «устойчивый»; октаэдр — воздух, как самый «воздушный». Пятый многогранник, додекаэдр, воплощал в себе «все сущее», символизировал все мироздание, считался главным.

Слайд 27«Космический кубок» Кеплера Кеплер предположил, что существует

связь между пятью правильными многогранниками и шестью открытыми к тому

времени планетами Солнечной системы. Согласно этому предположению, в сферу орбиты Сатурна можно вписать куб, в который вписывается сфера орбиты Юпитера. В неё, в свою очередь, вписывается тетраэдр, описанный около сферы орбиты Марса. В сферу орбиты Марса вписывается додекаэдр, к который вписывается сфера орбиты Земли. А она описана около икосаэдра, в который вписана сфера орбиты Венеры. Сфера этой планеты описана около октаэдра, в который вписывается сфера Меркурия. Такая модель Солнечной системы (рис. 6) получила название «Космического кубка» Кеплера. Результаты своих вычислений учёный опубликовал в книге «Тайна мироздания». Он считал, что тайна Вселенной раскрыта. Год за годом учёный уточнял свои наблюдения, перепроверял данные коллег, но, наконец, нашёл в себе силы отказаться от заманчивой гипотезы. Однако её следы просматриваются в третьем законе Кеплера, где говориться о кубах средних расстояний от Солнца.

Модель Солнечной системы И. Кеплера

Двойственность правильных многогранников

В двойственной паре многогранников вершины одного многогранника соответствуют граням другого, и наоборот.

Правильные многогранники демонстрируют эту двойственность следующим образом:

тетраэдр самодвойственен, то есть соединяется сам с собой.
Куб и октаэдр двойственны друг другу.
икосаэдр и додекаэдр двойственны друг другу.
малый звездчатый додекаэдр и большой додекаэдр двойственны друг другу.
большой звездчатый додекаэдр и большой икосаэдр являются двойственные друг к другу.

Символ Шлефли в двойственности — это просто оригинал, записанный в обратном порядке, например, двойственное для {5, 3} — это {3, 5}.

Характеристики

Эквивалентные свойства

Свойство наличия аналогичная организация Элемент граней вокруг каждой вершины может быть заменен любым из следующих эквивалентных условий в определении:

Все вершины многогранника лежат на сфере.
Все двугранные углы многогранники равны
Все фигуры вершин многогранника являются правильными многоугольниками.
Все телесные углы многогранника совпадают.

Концентрические сферы

У правильного многогранника есть все три связанных сферы (у других многогранников нет хотя бы одного вида), имеющих общий центр:

insphere, касательная ко всем граням.
Межсфера или средняя сфера, касательная ко всем ребрам.
A описанная сфера, касательная ко всем вершинам.

Симметрия

Правильные многогранники симметричный всех многогранников. Они находятся всего в трех группах симметрии, которые названы в честь Платоновых тел:

Тетраэдр
Октаэдрический (или кубический)
Икосаэдрический (или додекаэдрический)

Любые формы с икосаэдрической или октаэдрической симметрией также будут иметь тетраэдрическую симметрию.

Эйлерова характеристика

Пять Платоновых тел имеют Эйлерову характеристику, равную 2. Это просто отражает то, что поверхность является топологической двумерной сферой, и это также верно, например, любого многогранника, звездообразного относительно некоторой внутренней точки.

Внутренние точки

Сумма расстояний от любой точки внутри правильного многогранника до сторон не зависит от местоположения точки (это расширение Вивиани. теорема.) Однако обратное неверно, даже для тетраэдров.

1.1.2. Виды правильных многогранников

Тетраэдр

У тетраэдра 4 грани, 4 вершины и 6 рёбер. Грани – равносторонние треугольники. В каждой его вершине сходится три угла. Сумма этих углов при каждой вершине равна 180º.Октаэдр

В переводе с греческого οκτάεδρον (οκτώ — «восемь» и έδρα — «основание») — многогранник с восемью гранями. Грани правильного октаэдра — . Октаэдр имеет 6 вершин и 12 рёбер. В каждой вершине сходятся 4 треугольника, поэтому сумма углов при каждой вершине октаэдра составляет 240°.

Куб в переводе с древне-греческого κύβος2 или правильный гексаэдр («правильный шестигранник» от древнегреческого ἑξάς— «шесть» и ἕδρα — «седалище, основание») — правильный многогранник, каждая грань которого представляет собой .

Число сторон у грани – 4; общее число граней – 6; число рёбер примыкающих к вершине – 3; общее число вершин – 8; общее число рёбер – 12. Сумма углов при каждой вершине 90º + 90º + 90º = 270º

Додекаэдр от древнегреческого δώδεκα — «двенадцать» и εδρον — «грань». Додекаэдр составлен из двенадцати правильных пятиугольников, являющихся его гранями.

Каждая вершина додекаэдра является вершиной . Таким образом, додекаэдр имеет 12 граней (пятиугольных), 30 рёбер и 20 вершин (в каждой сходятся 3 ребра). Сумма углов при каждой вершине 108º + 108º + 108º = 324º

Икосаэдр от древнегреческого εἴκοσι «двадцать»; ἕδρον «сидение», «основание»— правильный выпуклый многогранник, двадцатигранник. Каждая из 20 граней представляет собой равносторонний треугольник.

Число ребер равно 30, число вершин — 12. Икосаэдр имеет 59 звёздчатых форм. Леонардом Эйлером в 1750 году была впервые выведена формула связывающая число вершин (В), граней (Г) и рёбер (Р) любого выпуклого многогранника простым соотношением: В + Г = Р + 2.

Таблица 1

№		Вершины	Ребра	Грани	Формула Эйлера
	Тетраэдр	4	6	4	4+4=6+2
	Октаэдр	6	12	8	6+8=12+2
	Куб	8	12	6	8+6=12+2
	Додэкаэдр	20	30	12	20+12=30+2
	Икосаэдр	12	30	20	12+20=30+2

Правильные многогранники с древних времен привлекали к себе внимание ученых, архитекторов, художников. Их поражала красота, совершенство, гармония этих многогранников

Леонардо да Винчи увлекался теорией многогранников и часто изображал их на своих полотнах. Он проиллюстрировал книгу монаха Луки Пачоли «О божественной пропорции».

Другим знаменитым художником, также увлекавшимся геометрией был Альбрехт Дюрер. В своей гравюре «Меланхолия» он дал перспективное изображение додекаэдра.

Немецкий астроном и математик Иоганн Кеплер в своей работе, используя правильные многогранники, вывел принцип, которому подчиняются формы и размеры планет Солнечной системы. Такая модель получила модель «Космического кубка» Кеплера.

Знаменитая картина Сальвадора Дали «Тайная вечеря» содержит перспективное изображение правильного додекаэдра.

Слайд 2Из историиС древнейших времен наши представления о красоте связаны с симметрией.

Наверное, этим объясняется интерес человека к многогранникам — удивительным символам симметрии, привлекавшим внимание выдающихся мыслителей. История правильных многогранников уходит в глубокую древность

Изучением правильных многогранников занимались Пифагор и его ученики. Их поражала красота, совершенство, гармония этих фигур. Пифагорейцы считали правильные многогранники божественными фигурами и использовали в своих философских сочинениях.Одно из древнейших упоминаний о правильных многогранниках находится в трактате Платона (427-347 до н. э.). Поэтому правильные многогранники также называются платоновыми телами. Каждый из правильных многогранников, а всего их пять, Платон ассоциировал с четырьмя земными элементами: земля (куб), вода (икосаэдр), огонь (тетраэдр), воздух (октаэдр), а также с неземным элементом — небом (додекаэдр).Знаменитый математик и астроном Кеплер построил модель Солнечной системы как ряд последовательно вписанных и описанных правильных многогранников и сфер.

Классификация двумерных полиэдров

Наша задача состоит в том, чтобы связать символы Шлефли {n,m} с количеством вершин, ребер и граней. Для примера рассмотрим тетраэдр и попытаемся выяснить зависимость.

У тетраэдра 4 грани, в каждой из которых три угла. Т.о., если умножить 4 грани на 3 угла получим 12 чего-то там, что в два раза больше, чем количество его ребер (каждое из них посчитано дважды).
В каждой вершине сходятся m=3 граней. Если умножить 4 вершины на 3 грани получим 12 чего-то там, что в два раза больше количества ребер (их так же считали дважды

В качестве упражнения можно посчитать для куба. В каждой из 6 граней 4 угла, отсюда (6*4)/2 = 12 ребер. В каждой из 8 вершин сходятся 3 грани, что даёт (8*3)/2 = 12 ребер.

Получили три уравнения с тремя неизвестными, которые будем сейчас решать, чтобы получить в чистом виде зависимость от составляющих символа Шлефли:

Такую систему уравнений удобно решить, воспользовавшись параметризацией через некое t. Во второй строчке подставили данные в уравнение Эйлера и затем привели дроби к одному знаменателю

Из очевидных соображений, что t > 0 , мы должны потребовать положительности знаменателя. Остается в целых числах решить соответствующее неравенство:

Не только лишь все натуральные числа при умножении дают результат, меньший 4, поэтому у нас не так много работы:

А теперь вспомните рисунок с символами Шлефли для платоновых тел! Как видите, мы получили одно и то же с помощью решения обычной системы уравнений! Алгебраизация — один из самых мощных способов исследования окружающего нас мира.

Геометрические свойства Углы

С каждым правильным многогранником связаны определённые углы , характеризующие его свойства. Двугранный угол между смежными гранями правильного многогранника

Иногда удобнее пользоваться выражением через тангенс :

где принимает значения 4, 6, 6, 10 и 10 для тетраэдра, куба, октаэдра, додекаэдра и икосаэдра соответственно.

Угловой дефект при вершине многогранника – это разность между 2π и суммой углов между рёбрами каждой грани при этой вершине. Дефект при любой вершине правильного многогранника:

По теореме Декарта , он равен делённым на число вершин (т.е. суммарный дефект при всех вершинах равен ).

Трёхмерным аналогом плоского угла является телесный угол . Телесный угол Ω при вершине правильного многогранника выражается через двугранный угол между смежными гранями этого многогранника по формуле:

Телесный угол, стягиваемый гранью правильного многогранника, с вершиной в центре этого многогранника, равен телесному углу полной сферы ( стерадиан), делённому на число граней. Он также равен угловому дефекту дуального к данному многогранника.

Различные углы правильных многогранников приведены в следующей таблице. Числовые значения телесных углов даны в стерадианах . Константа – золотое сечение .

Многогранник	Двугранный уголθ		Плоский угол между рёбрами при вершине	Угловой дефект (δ)
тетраэдр	70.53°		60°	π	π
куб	90°	1	90°
октаэдр	109.47°	√2	60°, 90°
додекаэдр	116.57°		108°
икосаэдр	138.19°		60°, 108°

Радиусы, площади и объёмы

С каждым правильным многогранником связаны три концентрические сферы:

Описанная сфера, проходящая через вершины многогранника;
Срединная сфера, касающаяся каждого его ребра в середине;
Вписанная сфера, касающаяся каждой его грани в её центре.

Радиусы описанной () и вписанной () сфер задаются формулами:

где θ — двугранный угол между смежными гранями многогранника. Радиус срединной сферы задаётся формулой:

где h — величина описанная выше, при определении двугранных углов (h = 4, 6, 6, 10 или 10). Отношения описанных радиусов к вписанным радиусам симметрично относительно p и q:

Площадь поверхности S правильного многогранника

вычисляется, как площадь правильного p-угольника, умноженная на число граней Г:

Объём правильного многогранника вычисляется, как умноженный на число граней объём правильной пирамиды , основанием которой служит правильный p-угольник, а высотой — радиус вписанной сферы r:

Приведённая таблица содержит список различных радиусов, площадей поверхностей и объёмов правильных многогранников. Значение длины ребра a в таблице приравнены к 2.

Многогранник(a = 2)	Радиус вписанной сферы (r)	Радиус срединной сферы (ρ)	Радиус описанной сферы (R)	Площадь поверхности (S)	Объём (V)
тетраэдр
куб
октаэдр
додекаэдр
икосаэдр

Константы φ и ξ задаются выражениями

Среди правильных многогранников как додекаэдр, так и икосаэдр представляют собой лучшее приближение к сфере. Икосаэдр имеет наибольшее число граней, наибольший двугранный угол и плотнее всего прижимается к своей вписанной сфере. С другой стороны, додекаэдр имеет наименьший угловой дефект, наибольший телесный угол при вершине и максимально заполняет свою описанную сферу.

Правильные многогранники в природе

Каждое из Платоновых тел встречается в природе в той или иной форме.

Тетраэдр, куб и октаэдр встречаются в виде кристаллов. Этим ни в коем случае не исчерпывается количество возможных форм кристаллов (Smith, 1982, p212), которых 48. Среди них нет ни правильного икосаэдра, ни правильного додекаэдра, но кристаллы могут иметь форму пиритоэдра, который визуально практически неотличим от правильного додекаэдра. Истинно икосаэдрические кристаллы могут быть образованы из квазикристаллических материалов, которые очень редки в природе, но могут быть получены в лаборатории.

Более недавнее открытие относится к серии новых типов молекула углерода, известная как фуллерены (см. Curl, 1991). Хотя C 60, наиболее легко производимый фуллерен, выглядит более или менее сферическим, некоторые из более крупных разновидностей (например, C 240, C 480 и C 960) предположительно принимают форму слегка закругленных икосаэдров, несколько нанометров в поперечнике.

Radiolaria

Многогранники также встречаются в биологии. В начале 20 века Эрнст Геккель описал ряд видов Radiolaria, некоторые из которых скелеты имеют форму различных правильных многогранников (Haeckel, 1904). Примеры включают Circoporus octahedrus, Circogonia icosahedra, Lithocubus geometryus и Circorrhegma dodecahedra; формы этих существ обозначены их именами. Внешние белковые оболочки многих вирусов образуют правильные многогранники. Например, HIV заключен в правильный икосаэдр.

В древности пифагорейцы считали, что существует гармония между правильными многогранниками и орбитами планет. В 17 веке Иоганн Кеплер изучал данные о движении планет, составленные Тихо Браге, и в течение десятилетия пытался установить пифагорейский идеал, найдя соответствие между размерами многогранников и размеры орбит планет. Его поиски не достигли своей первоначальной цели, но из этого исследования явились открытия Кеплера твердых тел Кеплера как правильных многогранников, осознание того, что орбиты планет не являются кругами, и законы движения планет, для которых он теперь известен. Во времена Кеплера было известно только пять планет (не считая Земли), что точно соответствовало количеству Платоновых тел. Работа Кеплера и открытие с того времени Урана и Нептуна опровергли идею Пифагора.

Примерно в то же время, что и пифагорейцы, Платон описал теорию материи, в которой каждый из пяти элементов (земля, воздух, огонь, вода и дух) составлял крошечные копии одного из пяти обычных твердых тел. Материя была составлена из смеси этих многогранников, причем каждая субстанция имела разные пропорции в смеси. Две тысячи лет спустя атомная теория Дальтона покажет, что эта идея находится в правильном направлении, хотя не имеет прямого отношения к правильным твердым телам.

Пять правильных многогранников

Вероятно, куб и правильный тетраэдр являются первыми правильными многогранниками, открытыми человечеством. Уже во времена Пифагора люди знали и о третьем правильном многограннике – октаэдре. Каждая его грань – это равносторонний треуг-к, но, в отличие от тетраэдра, из каждой его вершины исходит уже не три, а четыре ребра. Выглядит правильный октаэдр так:

Можно доказать, что октаэдр состоит из двух правильных пирамид, у которых общее основание, но вершины располагаются по разные стороны от плоскости основания. Название октаэдра происходит от греческого слова «окта», означающее число 8. Легко увидеть, что у октаэдра как раз 8 граней. Также видно, что он имеет 6 вершин и 12 ребер.

Следующие два правильных многогранника как раз и были открыты Теэтетем Афинским. Это икосаэдр и додекаэдр. Икосаэдр также состоит из равносторонних треуг-ков, но каждая его вершина принадлежит сразу 5 ребрам.Правильный икосаэдр довольно сложно нарисовать на плоскости, поэтому его внешний вид мы покажем с помощью анимации:

Гранями додекаэдра являются правильные пятиугольники, причем в каждой его вершине соприкасаются ровно 3 грани, и, соответственно, сходятся 3 ребра. Нарисовать правильный додекаэдр ещё тяжелее, поэтому снова посмотрим на него с помощью gif-анимации:

Для подсчета количества ребер, граней и вершин у додекаэдра и икосаэдра можно применить теорему Эйлера. Начнем с икосаэдра. Обозначим количество его граней буквой Г. Теперь подсчитаем ребра (Р), принадлежащие каждой грани. Так как эти грани являются треуг-ками, то получится 3Г ребер. Но при этом каждое ребро мы посчитали дважды, ведь ребра принадлежат строго двум граням. То есть у икосаэдра количество ребер равно 3Г/2 = 1,5Г.

Также подсчитаем и вершины (В), находящиеся вокруг граней. На каждую грань приходится 3 вершины, но при этом каждая вершины принадлежит уже 5 граням. Тогда общее количество вершин составит 3Г/5 = 0,6Г.

Записываем теорему Эйлера и подставляем в ней полученные значения:

Теперь проведем аналогичные расчеты для додекаэдра. Его грани – пятиугольники, поэтому количество его ребер составляет 5Г/2. В каждой вершине додекаэдра сходятся три грани, а потому количество вершин составит 5Г/3. Используем теорему Эйлера:

Теперь составим таблицу, в которой отразим основные сведения о пяти известным нам правильных многогранниках:

Возникает вопрос – существуют ли ещё какие-нибудь правильные многогранники? Оказывается, что нет. Действительно, каждая вершина правильного многогранника является одновременно и вершиной многогранного угла. Напомним, что сумма плоских углов в многогранном угле всегда меньше 360°. Легко подсчитать, что в правильном шестиугольнике каждый угол составляет 120°, а в многоуг-ках с большим количеством сторон (семиугольник, восьмиугольник…) этот угол ещё больше. Это значит, что если трехгранный угол образован тремя шестигранниками, то сумма его плоских углов составит ровно 120°•3 = 360°, что невозможно. Также невозможно, чтобы трехгранный угол и любой другой многогранный угол был образован правильными семиугольниками, восьмиугольниками и т. д. То есть грани правильного многогранника могут быть исключительно треуг-ками, четырехуг-ками или пятиугольниками.

Рассмотрим случай, когда грани – это треуг-ки. У равностороннего треуг-ка угол составляет 60°. У тетраэдра в вершине смыкаются 3 грани, у октаэдра – 4 грани, а у икосаэдра – 5 граней. А 6 треуг-ков уже не могут образовать многогранный угол, ведь сумма углов составит 6•60° = 360°.

Теперь рассмотрим случай с четырехуг-ком. Правильный четырехуг-к – это квадрат с углом 90°. Варианту с 3 смыкающимися квадратами соответствует куб, а 4 квадрата уже не образуют многогранный угол, ведь сумма углов снова составит 4•90° = 360°.

Остался случай с пятиугольником. У правильного пятиугольника угол равен 108°. Значит, 4 таких фигуры не смогут сомкнуться и образовать многогранный угол, а варианту с тремя пятиугольниками соответствует додекаэдр.

Итак, мы рассмотрели все возможные варианты, и оказалось, что никаких других правильных многогранников, кроме пяти описанных, существовать не может, ч. т. д. Отметим также, что этот факт можно доказать и без применения свойства многогранного угла, используя только теорему Эйлера.

Слайд 3Определения правильных многогранников.

Имеется несколько эквивалентных определений правильных многогранников. Одно из них звучит так: многогранник называется правильным, если существуют три концентрические сферы, одна из которых касается всех граней многогранника, другая касается всех его ребер и третья содержит все его вершины. Это определение напоминает одно из возможных определений правильного многоугольника: многоугольник называется правильным, если он вписан в некоторую окружность и описан около другой окружности, причем эти окружности концентричны.Другое определение: правильным многогранником называется такой выпуклый многогранник, все грани которого являются одинаковыми правильными многоугольниками и все двугранные углы попарно равны.Ещё одно определение правильных многогранников: многогранник называется правильным, если: он выпуклый все его грани являются равными правильными многоугольниками в каждой его вершине сходится одинаковое число граней все его двугранные углы равны.

Характеристики квадрата как правильного четырехугольника

Характеристика	Описание
Углы	Все четыре угла квадрата равны между собой и составляют 90 градусов. Это значит, что углы квадрата являются прямыми углами.
Стороны	Все четыре стороны квадрата равны между собой. Это означает, что квадрат является регулярным четырехугольником.
Диагонали	Диагонали квадрата имеют равную длину и перпендикулярны друг другу. При этом, диагональ квадрата является его симметрией.
Площадь	Площадь квадрата вычисляется по формуле: S = a^2, где а — длина стороны квадрата. Это означает, что площадь квадрата равна квадрату его стороны.
Периметр	Периметр квадрата вычисляется по формуле: P = 4a, где а — длина стороны квадрата. Это значит, что периметр квадрата равен четырем удвоенным сторонам квадрата.
Диагонали и стороны	Диагонали квадрата делят его на четыре прямоугольных треугольника. При этом, стороны квадрата являются гипотенузами этих треугольников.

Квадрат является одним из самых известных и простых правильных четырехугольников. Его характеристики делают его удобным для использования в различных областях, таких как геометрия, строительство и компьютерная графика.

Слайд 20Каждый минерал на Земле частично отражает структуру Вселенной, и поэтому подчиняется

платоновскому принципу гармонии:то есть в одном камне не в равной степени могут сосуществовать свойства всех четырех стихий. Цвет и огранка камня определенным образом ориентируют его свойства, выявляя скрытую, соответствующую планете или созвездию астральную энергию. Вот почему жрецы и маги в древности держали в тайне формы огранки, соответствующие каждому виду минерала. Древнегреческий философ Гераклит заметил, что «скрытая гармония сильнее явной». Перед покупкой драгоценного камня необходимо хорошо оценить его огранку, ведь именно она влияет на способ проявления энергии самоцвета. Иногда минералы винят в их способности приносить несчастья, их даже называют проклятыми. Но, на самом деле, самоцветы не в чем винить, так как они являются прямым отражением поступков своих владельцев. Они лишь перерабатывают информацию и энергию, обращая ее либо в позитив, либо в негатив.Поэтому не следует пускать все на самотек, быть безжалостным и эгоистичным. Необходимо делать жертвы во имя достижения цели, и если Вы готовы пойти на это, то камни в бриллиантовой огранке всегда помогут достичь успеха. В противном же случае, если Вы не хотите работать над собой, развиваться и получать пользу от своих поступков, то самоцветы будут приносить в Вашу жизнь лишь негатив.