Рациональные неравенства, примеры, решения

Метод интервалов

Методом интервалов решают неравенства, приведенные к виду F(x)>0 или F(x)

Метод интервалов основан на том, что непрерывная на промежутке функция может менять знак только в тех точках, где ее значения равно нулю (но может и не менять).

Алгоритм метода интервалов:

Найти область определения функции D(F(x)) и промежутки, на которых F(x)непрерывна.
Найти нули функции F(x) – значения x, при которых F(x) = 0.
Нанести на числовую ось найденные промежутки и нули.
Определить интервалы знакопостоянства и в каждом из них поставить найденный подсчетом знак.
Написать ответ.

Рассмотрим пример применения данного метода для решения неравенства $\frac{(x-1)^2 (x-2)^3}{x} > 0$:

1. Функция $\frac{(x-1)^2 (x-2)^3}{x}$ непрерывна в каждой точке своей области определения (это дробно–рациональная функция).

2. Найдем точки, в которых наша функция F(x)=0, т.е. в данном случае задача сводится к решению соответствующих уравнений: (x-1)=0 или (x-2)=0 или x=0. В результате получили точки x=1, x=2 и x=0.

3. Нанесем на числовую ось найденные промежутки и нули:

4. Найдем знак правого промежутка. Берем любое число, которое больше, чем x=1. Например, x=10. Тогда получим:
$$ f(x)=x(x-1)^2 (x-2)^3 \\ f(10)=10(10-1)^2 (10-2)^3 = 298 > 0 $$

Расставляем остальные знаки. В точке x=1, уравнение (x-1)^2- четное, следовательно, знак остается без изменений; в точке x=2, (x-2)^3 — нечетное, знак функции изменяется на противоположный.

5. Вернемся к исходному неравенству: F(x)>0, следовательно, нам необходимо записать в ответ интервалы отмеченные знаком плюс.
Ответ: $x \in (-\infty;0)\cup(2;+\infty)$.

Дробные неравенства, как решить дробное неравенство

Свойство 3 Если a 10 Свойство 4 Если a bc. Если обе части верного неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число, то получится верное неравенство; Если обе части верного неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное число и изменить знак неравенства на противоположный, то получится верное неравенство. Перенос слагаемых из одной части неравенства в другую с противоположным знаком, при этом знак неравенства не меняется.

Если границы не принадлежат числовому промежутку, то они изображаются на координатной прямой в виде пустых кружков. Если границы принадлежат числовому промежутку, то кружки необходимо закрасить. На нашем рисунке кружки были оставлены пустыми. Это означало, что границы 2 и 8 не принадлежат числовому промежутку.

Значит в наш числовой промежуток будут входить все числа от 2 до 8, кроме чисел 2 и 8. Если мы хотим включить границы 2 и 8 в числовой промежуток, то кружки необходимо закрасить: В данном случае в числовой промежуток будут входить все числа от 2 до 8, включая числа 2 и 8. На письме числовой промежуток обозначается указанием его границ с помощью круглых или квадратных скобок. Если границы не принадлежат числовому промежутку, то границы обрамляются круглыми скобками. Если границы принадлежат числовому промежутку, то границы обрамляются квадратными скобками. На рисунке представлено два числовых промежутка от 2 до 8 с соответствующими обозначениями: На первом рисунке числовой промежуток обозначен с помощью круглых скобок, поскольку границы 2 и 8 не принадлежат этому числовому промежутку.

На втором рисунке числовой промежуток обозначен с помощью квадратных скобок, поскольку границы 2 и 8 принадлежат этому числовому промежутку. С помощью числовых промежутков можно записывать ответы к неравенствам. При этих значениях неравенство будет верным. В некоторых источниках границы, которые не принадлежат числовому промежутку, называют открытыми. Открытыми их называют по той причине, что числовой промежуток остаётся открытым из-за того, что его границы не принадлежат этому числовому промежутку. Пустой кружок на координатной прямой математики называют выколотой точкой.

Выколоть точку значит исключить её из числового промежутка или из множества решений неравенства. А в случае, когда границы принадлежат числовому промежутку, их называют закрытыми или замкнутыми , поскольку такие границы закрывают замыкают собой числовой промежуток. Закрашенный кружок на координатной прямой также говорит о закрытости границ. Существуют разновидности числовых промежутков.

При разложении многочленов на множители применяют три основных приёма: вынесение множителя за скобку, использование формул сокращённого умножения и способ группировки. Данный прием является достаточно универсальным, поскольку его можно применять для решения алгебраических неравенств любого вида. К примеру, рассмотрим решение показательного неравенства с помощью разложения на множители.

Пример 2. Отметим полученные корни на числовой оси и определим знаки функции на каждом из получившихся интервалов рис. Возведение обеих частей иррационального неравенства в одну и ту же степень Данный прием, как правило, применяется для решения иррациональных неравенств. В основе преобразований лежит утверждение: если обе части неравенства неотрицательны, то оно равносильно неравенству, полученному из него почленным возведением в степень. При решении таких неравенств необходимо следить за тем, чтобы не приобрести посторонних решений. Поэтому необходимо учитывать область определения неравенства и область возможных значений решения. Пример 3.

Для его решения применим графический метод решения. Для того, чтобы начертить эскиз графика см. При разложении многочленов на множители применяют три основных приёма: вынесение множителя за скобку, использование формул сокращённого умножения и способ группировки. Данный прием является достаточно универсальным, поскольку его можно применять для решения алгебраических неравенств любого вида. К примеру, рассмотрим решение показательного неравенства с помощью разложения на множители. Пример 2. Отметим полученные корни на числовой оси и определим знаки функции на каждом из получившихся интервалов рис. Возведение обеих частей иррационального неравенства в одну и ту же степень Данный прием, как правило, применяется для решения иррациональных неравенств. В основе преобразований лежит утверждение: если обе части неравенства неотрицательны, то оно равносильно неравенству, полученному из него почленным возведением в степень.

При решении таких неравенств необходимо следить за тем, чтобы не приобрести посторонних решений.

Степень полиномиальных уравнений

Полиномиальные уравнения широко используются в математике, науке и инженерии для моделирования и решения широкого спектра проблем.Одним из наиболее важных свойств полиномиального уравнения является его степень, которая является самой высокой силой переменной в уравнении.Степень полиномиального уравнения определяет многие важные характеристики уравнения, такие как количество его корней, его поведение вблизи бесконечности и его сложность.Понимание степени полиномиального уравнения имеет решающее значение для решения его с использованием алгебраических методов, поскольку оно дает важные подсказки о структуре уравнения.В этом разделе мы подробно рассмотрим концепцию степени полиномиальных уравнений и приведем некоторые примеры, чтобы проиллюстрировать ее важность. 1

Определение степени: степень полиномиального уравнения является самой высокой силой переменной в уравнении.Например, степень полиномиального уравнения y = 3x^2 + 2x — 1 составляет 2, поскольку самая высокая сила x составляет 2. Степень полиномиального уравнения всегда является неотрицательным целым числом

1. Определение степени: степень полиномиального уравнения является самой высокой силой переменной в уравнении.Например, степень полиномиального уравнения y = 3x^2 + 2x — 1 составляет 2, поскольку самая высокая сила x составляет 2. Степень полиномиального уравнения всегда является неотрицательным целым числом.

2. Связь между степенью и корнями: степень полиномиального уравнения определяет максимальное количество корней, которое может иметь уравнение.В частности, полиномиальное уравнение степени N имеет не более N -корней, подсчитывая множественность.Например, квадратное уравнение (степень 2) может иметь не более 2 корней, в то время как кубическое уравнение (степень 3) может иметь не более 3 корней.

3. Поведение вблизи бесконечности: степень полиномиального уравнения определяет его поведение вблизи бесконечности.В частности, если степень полиномиального уравнения равна ровной, то уравнение имеет тот же знак, что и ведущий коэффициент (коэффициент самой высокой мощности переменной) для больших положительных или отрицательных значений переменной.Если степень полиномиального уравнения нечетная, то уравнение имеет противоположный знак в качестве ведущего коэффициента для больших положительных или отрицательных значений переменной.

4. Сложность: степень полиномиального уравнения определяет его сложность с точки зрения количества терминов и количества операций, необходимых для его решения.Как правило, полиномиальные уравнения более высокой степени являются более сложными и требуют более продвинутых алгебраических методов для их решения.Например, квадратичное уравнение может быть решено с использованием квадратичной формулы, в то время как кубическое уравнение требует решения кубического уравнения, которое включает в себя сложные числа.

Таким образом, степень полиномиального уравнения является фундаментальным свойством, которое определяет многие важные характеристики уравнения.Понимание степени полиномиального уравнения имеет решающее значение для решения его с использованием алгебраических методов и может дать важную информацию о структуре и поведении уравнения.

Степень полиномиальных уравнений — Полиномиальные уравнения: решение полиномиальных уравнений с использованием алгебраических методов

Использование дискриминанта

Дискриминант степенного выражения представляет произведение квадратов разностей корней в различных сочетаниях. Другими словами, берут пару, состоящую из любых корней уравнения, вычитают друг из друга и возводят в квадрат. Это и будет один множитель. Затем берут другую пару и повторяют действия. Таким образом, перебирают все варианты.

При решении кубических равенств используют значения коэффициентов. Например, для уравнения y 3 — 3* y 2 + 3* y — 1, они будут равны: a = 1, d = -3, c = 3, n = -1. Затем вычисляют дельта нулевое. Это ключевая величина, которая после подставляется в формулу. В примере, Δ0 = d 2 — 3 * a * c, определяют как (-3) 2 — 3 * (1) * (3) = 9 − 3 * 3 = 0 .

Затем находят дельта один. Δ1 = 2 * d 3 — 9 * a * d * c + 27 * a 2 * n. Подставив значения в формулу, вычисляют Δ1:

2 (-3) 3 — 9 (1)(-3)*(3) + 27 (1) 2 * (-1) = 2 (-27) — 9 (-9) + 27 (-1) = -54 + 81 — 27 = 81 − 81 = 0 = Δ 1.

Используя найденное, по аналогии с квадратичным равенством находят дискриминант: d 2 — 4 * a * c. Применительно к кубическому виду применяется правило, что показатель отрицательный, когда уравнение может иметь только одно решение. Если же его значение равно нулю — одно или два. Уравнение кубического вида всегда должно иметь хотя бы одно решение, так как его график должен проходить через ось икс.

Так как в примере дельта-ноль и один равны нулю, то можно использовать следующее выражение:

Δ1 2 — 4 * Δ0 3 / — 27 *a 2;
(0) 2 — 4 * (0) 3 / — 27 * (1) 2;
(0−0) / 27;
Δ = 0.

Исходя из этого, уравнение имеет два решения. Вычислив С, можно определить возможные решения уравнения. Заменив по мере необходимости дельты, решается равенство:

C = ((Δ 1 2 — 4 Δ 0 3 ) +Δ) / 2) ½ = (((0 — 0) + 0)/2) ½ = 0.

Корни куба определяются по формуле: u n C + Δ0/(u n C)) / 3*a, где u = (-1 + √(-3))/2, а n равно одному, двум или трём. Если подставить эти значения в равенство, и оно будет верным, то эта цифра и является возможным решением уравнения. Этот способ показательный, но довольно сложный. Но если его понять, то проблем с решением уравнений любой сложности возникнуть не должно.

https://youtube.com/watch?v=5P9ptyUnkzo

Подробный онлайн-калькулятор

Вычисление корней требует внимательности и усердия. Чтобы быстро находить решение, нужно не только знание теории, но и практические занятия. Конечно же, знать формулы и уметь решать уравнения нужно самому.

Но при самостоятельном вычислении существует вероятность допущения ошибки. Поэтому на помощь приходят своего рода решебники-онлайн. Они умеют не только точно и быстро определять корни равенства, но и показывать подробное вычисление. Благодаря этому можно не просто получить правильный ответ, но и разобраться в решении, понять различные нюансы, проверить свои знания.

Из наиболее популярных интернет-порталов, позволяющих найти корни кубического уравнения онлайн, можно выделить: mathforyou. net, allcalc.ru, wedmath.ru, kontrolnaya-radota.ru. Воспользоваться такими сайтами-решателями сможет любой пользователь, даже не имеющий представление о методах решения уравнений.

Для этого нужно просто заполнить предлагаемые на странице поля и нажать кнопку «Рассчитать» или «Решить». Калькулятор сам на основании запрограммированных формул, чаще всего по методу Вието — Кардано, выполнит расчёт и выведет на экран ответ. Кроме этого, будет предложено подробное решение с описанием. На этих сайтах также можно посмотреть и примеры решений, формулы, теоремы.

https://youtube.com/watch?v=3xH1PYqR4tk

Решение уравнений и неравенств

Математический калькулятор может решать уравнения и неравентства относительно переменной «x». Если есть необходимость найти другую переменную, например «y», то следует просто поменять их местами в выражении. Ввод переменных «x»,»y»,»z» производится в группе xyz нажатием соответствующих кнопок x, y, z.

Примеры решений уравнений и неравенств:

$$\frac{5}{12}+\frac{x}{6}=\frac{x}{4}+\frac{1}{3}$$ (решить уравнение)

$$x^2+12x+36=0$$ (решить уравнение)

$$\left(x+8\right)^2=x^2+8$$ (решить уравнение)

$$\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)+\left(x+\frac{1}{x}\right)=4$$ (решить уравнение)

$$\frac{19-x^2-4x}{49-x^2}(решить неравенство)
$$\frac{x}{3}+\frac{2x-1}{5}>2x-\frac{1}{15}$$ (решить неравенство)

$$\frac{\left(x-1\right)^2\left(x+7\right)\left(x+3\right)^3}{x^2+6x+9}\ge 0$$ (решить неравенство)

Решение дробно-рациональных неравенств методом интервалов

Для решения неравенств методом интервалов необходимо: найти область определения и нули функции левой части неравенства; отметить нули функции на координатной прямой; определить знаки значений функции на каждом полученном интервале; выбрать интервалы, на которых значения функции имеют знак, соответствующий знаку неравенства. Записать ответ.

Например, математики Древней Греции знали, что сторона любого треугольника меньше суммы двух других сторон и что против большего угла в треугольнике лежит большая сторона. Архимед, занимаясь вычислением длины окружности, установил, что периметр всякого круга равен утроенному диаметру с избытком, который меньше седьмой части диаметра, но больше десяти семьдесят первых диаметра. С числовыми неравенствами вы встречались и в младших классах. Знаете, что неравенства могут быть верными, а могут быть и неверными. Неравенства, в которые входят неизвестные, могут быть верными при одних значениях неизвестных и неверными при других. Для неравенства с одним неизвестным можно поставить задачу: решить неравенство.

Задачи решения неравенств на практике ставятся и решаются не реже, чем задачи решения уравнений. Например, многие экономические проблемы сводятся к исследованию и решению систем линейных неравенств. Во многих разделах математики неравенства встречаются чаще, чем уравнения. Некоторые неравенства служат единственным вспомогательным средством, позволяющим доказать или опровергнуть существование определённого объекта, например, корня уравнения. Далее вы узнаете свойства неравенств, научитесь решать неравенства. Полученные умения вам понадобятся при изучении последующего материала, для решения практических задач, а также задач физики и геометрии. Числовые неравенства Вы умеете сравнивать целые числа, десятичные дроби.

Знаете правила сравнения обыкновенных дробей с одинаковыми знаменателями, но разными числителями; с одинаковыми числителями, но разными знаменателями.

Квадратные неравенства и неравенства сводимые к ним когда две линейные функции. Неравенства высших степеней. Метод интервалов если остается линейных скобок больше или равно трем.

Алгоритм решения дробных -рациональных неравенств Алгоритм решения дробных -рациональных неравенств Алгоритм решения дробных -рациональных неравенств Алгоритм решения дробных -рациональных неравенств Алгоритм решения дробных -рациональных неравенств Алгоритм решения дробных -рациональных неравенств Алгоритм решения дробных -рациональных неравенств Алгоритм решения дробных -рациональных неравенств Материалы на данной страницы взяты из открытых истончиков либо размещены пользователем в соответствии с договором-офертой сайта.

Метод интервалов основан на свойстве дробно-рациональной функции: дробно-рациональная функция может менять знак только в тех точках, в которых она равна нулю или не существует. Для решения неравенств методом интервалов необходимо: найти область определения и нули функции левой части неравенства; отметить нули функции на координатной прямой; определить знаки значений функции на каждом полученном интервале; выбрать интервалы, на которых значения функции имеют знак, соответствующий знаку неравенства.

Формула квадратного уравнения

Используется при решении простейшего равенства методом разложения кубического уравнения на множители. Когда последний член равен нулю, решить такую задачу можно по методу квадратных уравнений. При n = 0, уравнение примет вид :

a*y 3 + d*y 2 + c*y + n = 0.

В полученном выражении каждый член представлен произведением на неизвестное, поэтому переменную y можно вынести за скобки: y*(d*y 2 + c) = 0. Уравнение в скобках является классическим квадратным, которое можно решать несколькими способами:

разложением на множители;
с использованием формулы корней квадратного уравнения;
методом дополнения.

При выборе первого варианта разложение выполняют следующим образом. Например, необходимо решить равенство вида: *y 2 — 11*y — 16 = 0. Квадратный член можно записать в виде двух множителей: 3*y и y. Поэтому их можно записать сразу как произведение в скобках: (3 * + n) * (y + n) = 0. Так как определённый член можно записать в виде произведения 2*2 или 1*4, то формулу можно представить как (3 *y +1) * (y — 16).

Если раскрыть скобки, то получится равенство 3*y 2 — 12 *y + y + 16. Решением (-12*y + y) будет (-11*y). Как раз тот член, который нужен. Используя же произведение 2*2 — искомый член найти не получится.

Равенство раскладывают на два множителя: (3*y +1) (х — 16) = 0. Согласно аксиоме произведение двух членов равно нулю только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю. Приравняв каждое выражение в скобках к нулю, можно записать два равенства: 3*y + 1 = 0 и y — 16 = 0. При решении каждого из них получится два ответа: y = 1/3 и y = 16.

Но проще и нагляднее всего использовать второй вариант. Формула корней кубического уравнения имеет вид: y = ((-d + (d 2 — 4*a*c) ½ ) / 2*a и y = ((-d — (d 2 — 4*a*c) ½ ) / 2*a. Корни квадратного уравнения и будут ответом для кубического. Например, 5*y 2 — 7*y — 14 = 0. Приняв, что a = 5, d = -7, c = — 14 и подставив числовые значения, будет верным запись: y = 1 4 / 5 и y = -1. Дробное решение и отрицательное будет являться корнями кубического равенства.

https://youtube.com/watch?v=9nCVZnRnlmI

Определение

Многочисленные особые точки секстики Барта являются решениями полиномиальной системы

Очень простой пример системы полиномиальных уравнений:

Икс2-1знак равноу2-4знак равно{\ displaystyle {\ begin {align} x ^ {2} -1 & = 0 \\ y ^ {2} -4 & = 0. \ end {align}}}

Его решениями являются четыре пары ( x , y ) = (1, 2), (−1, 2), (1, −2), (−1, −2) .

Предметом данной статьи является изучение обобщений этого примера и описание методов, которые используются для вычисления решений.

Система полиномиальных уравнений, или полиномиальной системы представляет собой совокупность уравнений

ж1(Икс1,…,Иксм)знак равно⋮жп(Икс1,…,Иксм)знак равно,{\ displaystyle {\ begin {align} f_ {1} \ left (x_ {1}, \ ldots, x_ {m} \ right) & = 0 \\ & \; \; \ vdots \\ f_ {n} \ left (x_ {1}, \ ldots, x_ {m} \ right) & = 0, \ end {align}}}

где каждый f _h является многочленом от неопределенных x ₁ , …, x _m , с целыми коэффициентами или коэффициентами в некотором фиксированном поле , часто поле рациональных чисел или конечное поле . Другие поля коэффициентов, такие как действительные числа , используются реже, поскольку их элементы не могут быть представлены в компьютере (в вычислениях могут использоваться только приближения действительных чисел, и эти приближения всегда являются рациональными числами).

Решением полиномиальной системы является набором значений ( х ₁ , …, х _т ) , что удовлетворяет все уравнения полиномиальной системы. Решения ищутся в комплексных числах или, в более общем смысле, в алгебраически замкнутом поле, содержащем коэффициенты. В частности, в нулевой характеристике ищутся все комплексные решения. Поиск реальных или рациональных решений — гораздо более сложные задачи, которые в этой статье не рассматриваются.

Набор решений не всегда конечен; например, решения системы

Икс(Икс-1)знак равноИкс(у-1)знак равно{\ Displaystyle {\ begin {выровнено} х (х-1) & = 0 \\ х (у-1) & = 0 \ конец {выровнено}}}

— точка ( x , y ) = (1,1) и прямая x = 0 . Даже когда множество решений конечно, в общем случае не существует выражения решений в замкнутой форме (в случае одного уравнения это теорема Абеля – Руффини ).

Поверхность Барта , показанная на чертеже , является геометрическим представлением решений полиномиальной системы сводится к одному уравнению степени 6 в 3 -х переменных. Некоторые из его многочисленных особых точек видны на изображении. Они являются решениями системы из 4-х уравнений степени 5 от 3-х переменных. Такая переопределенная система вообще не имеет решения (то есть, если коэффициенты не являются конкретными). Если она имеет конечное число решений, это число не превосходит 5 3 = 125 по теореме Безу . Однако было показано, что для случая особых точек поверхности степени 6 максимальное число решений составляет 65 и достигается поверхностью Барта.

Преимущества графического способа решения кубических неравенств

Основным преимуществом графического способа является его интуитивность и понятность. Пользуясь графиком функции, можно сразу определить все интервалы, на которых кубическое уравнение принимает положительные или отрицательные значения, а также определить точки, где происходит смена знака.

Благодаря графическому методу, мы можем быстро увидеть все возможные решения кубического неравенства и представить их графически. Это помогает нам визуализировать и лучше понимать ситуацию и свойства уравнения.

Еще одним преимуществом графического метода является его универсальность. Графический метод применим для решения различных кубических неравенств, независимо от их сложности. Он может быть использован для любых функций третьего порядка, что делает его полезным и универсальным инструментом в математике.

Кроме того, графический способ позволяет проводить проверку правильности полученных решений. Путем анализа точек пересечения графика с осью абсцисс и осью ординат можно подтвердить правильность решения и исключить возможные ошибки или неточности.

В целом, графический способ решения кубических неравенств является мощным инструментом, позволяющим наглядно представить и анализировать решения неравенств. Сочетание графического метода с алгебраическими методами позволяет получить более полное представление о свойствах и характере уравнения, а также более точные и надежные результаты.

Что решает?

Первое, что нужно сделать для решения полиномиальной системы, — это решить, является ли она противоречивой, нульмерной или положительной размерностью. Это может быть сделано путем вычисления базиса Грёбнера левых частей уравнений. Система несовместна, если этот базис Грёбнера сводится к 1. Система является нульмерной, если для каждой переменной существует старший моном некоторого элемента базиса Грёбнера, который является чистой степенью этой переменной. Для этого теста наилучшим мономиальным порядком (то есть тем, который обычно приводит к самым быстрым вычислениям) обычно является порядок (grevlex).

Если система положительно размерна , у нее бесконечно много решений. Таким образом, перечислить их невозможно. Отсюда следует, что в этом случае решение может означать только «нахождение описания решений, из которого можно легко извлечь соответствующие свойства решений». Общепринятого такого описания нет. На самом деле существует множество различных «релевантных свойств», которые касаются почти всех подполей алгебраической геометрии .

Естественным примером такого вопроса, касающегося систем положительной размерности, является следующий: решить, имеет ли полиномиальная система над рациональными числами конечное число действительных решений, и вычислить их . Обобщение этого вопроса состоит в том, чтобы найти хотя бы одно решение в каждой связной компоненте множества реальных решений полиномиальной системы . Классическим алгоритмом решения этих вопросов является цилиндрическая алгебраическая декомпозиция , которая имеет дважды экспоненциальную вычислительную сложность и поэтому не может использоваться на практике, за исключением очень небольших примеров.

Для нульмерных систем решение состоит из вычисления всех решений. Есть два разных способа вывода решений. Самый распространенный способ возможен только для реальных или сложных решений и заключается в выводе числовых приближений решений. Такое решение называется числовым . Решение считается сертифицированным, если оно имеет границу ошибки приближений и если эта граница разделяет различные решения.

Другой способ представления решений называется алгебраическим . Он использует тот факт, что для нульмерной системы решения принадлежат алгебраическому замыканию поля k коэффициентов системы. Существует несколько способов представить решение в виде алгебраического замыкания, которые обсуждаются ниже. Все они позволяют вычислять численное приближение решений путем решения одного или нескольких одномерных уравнений. Для этого вычисления предпочтительно использовать представление, которое включает решение только одного одномерного многочлена для каждого решения, потому что вычисление корней многочлена с приближенными коэффициентами является очень нестабильной задачей.