Математика

Степень с иррациональным и действительным показателем

Известно, что множество действительных чисел можно рассматривать как объединение множеств рациональных и иррациональных чисел. Поэтому степень с действительным показателем можно будет считать определенной, когда будут определены степень с рациональным показателем и степень с иррациональным показателем. Про степень с рациональным показателем мы говорили в предыдущем пункте, осталось разобраться со степенью с иррациональным показателем.

К понятию степени числа a с иррациональным показателем будем подходить постепенно.

Пусть — последовательность десятичных приближений иррационального числа . Для примера возьмем иррациональное число , тогда можно принять , или , и т.п. Здесь стоит отметить, что числа — рациональные.

Последовательности рациональных чисел соответствует последовательность степеней , причем мы можем вычислить значения этих степеней на базе материала статьи . В качестве примера возьмем a=3, и , тогда , а после возведения в степень получаем .

Наконец, последовательность сходится к некоторому числу, которое и является значением степени числа a с иррациональным показателем . Вернемся к нашему примеру: степень с иррациональным показателем вида сходится к числу, которое с точностью до сотых равно 6,27.

Определение.

Степенью положительного числа a с иррациональным показателем называют выражение , значение которого равно пределу последовательности , где — последовательные десятичные приближения иррационального числа .

Степень числа нуль определяется для положительных иррациональных показателей, при этом . Например, . А степень числа с отрицательным иррациональным показателем не определяется, к примеру, — не определены.

Отдельно стоит сказать про иррациональную степень единицы – единица в любой иррациональной степени равна 1. Например, и .

Список литературы.

• Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И. МатематикаЖ учебник для 5 кл. общеобразовательных учреждений.
• Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. Алгебра: учебник для 7 кл. общеобразовательных учреждений.
• Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. Алгебра: учебник для 8 кл. общеобразовательных учреждений.
• Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. Алгебра: учебник для 9 кл. общеобразовательных учреждений.
• Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10 — 11 классов общеобразовательных учреждений.
• Гусев В.А., Мордкович А.Г. Математика (пособие для поступающих в техникумы).

Практические советы при работе с кубами чисел

Чтобы правильно выполнить операцию возведения числа в куб, следует использовать следующую формулу:

Куб числа = число × число × число

Для удобства расчетов можно воспользоваться калькулятором или математическим программным обеспечением.

При работе с кубами чисел рекомендуется обратить внимание на следующие практические советы:

1. Ознакомьтесь с основными свойствами кубов чисел:

— Куб положительного числа всегда будет положительным числом;

— Куб отрицательного числа будет отрицательным числом;

— Куб нуля равен нулю;

— Возведение числа в куб является внутренней операцией и не изменяет разрядность числа (в отличие от возведения числа во вторую степень).

2. Учитывайте особенности работы с большими числами:

— При работе с большими числами возможны проблемы с точностью вычислений, поэтому рекомендуется использовать специальные алгоритмы или библиотеки;

— При возведении большого числа в куб, результирующее число также будет очень большим, что может привести к переполнению памяти.

3. Используйте кубическую функцию или специализированные методы:

— В языках программирования существуют специальные функции или методы для расчета куба числа;

— Использование готовых функций или методов упрощает выполнение операции и уменьшает вероятность ошибок.

Соблюдение этих практических советов позволит более эффективно работать с кубами чисел и избежать возможных ошибок при выполнении операции возведения числа в куб.

Особенности использования

Возведение числа в куб часто используется в различных областях, например, в физике, геометрии и программировании. В физике возведение числа в куб может применяться для вычисления объема кубического объекта. В геометрии возведение числа в куб может использоваться для вычисления объема куба или высчитывания длины ребра куба. В программировании возводить число в куб может понадобиться, например, при выполнении математических расчетов или в алгоритмах поиска и сортировки данных.

Расчет возведения числа в куб осуществляется умножением числа на себя два раза. Например, для возведения числа 2 в куб необходимо выполнить следующие вычисления:

• 2 * 2 = 4
• 4 * 2 = 8

Таким образом, число 2 в кубе равно 8. Аналогичным образом можно возведение в куб любого другого числа.

Комплекс операций инженерного калькулятора

Встроенный математический калькулятор поможет вам провести самые простые расчеты: умножение и суммирование, вычитание, а также деление. Калькулятор степеней онлайн быстро и точно возведет любое число в выбранную вами степень.

Представленный инженерный калькулятор содержит в себе все возможные вариации онлайн программ для расчетов. Kalkpro.ru содержит тригонометрический калькулятор (углы и радианы, грады), логарифмов (Log), факториалов (n!), расчета корней, синусов и арктангенсов, косинусов, тангенсов онлайн – множество тригонометрический функций и не только.

Работать с вычислительной программой можно онлайн с любого устройства, в каждом случае размер интерфейса будет подстраиваться под ваше устройство, либо вы можете откорректировать его размер на свой вкус.

Ввод цифр производится в двух вариантах:

• с мобильных устройств – ввод с дисплеем телефона или планшета, клавишами интерфейса программы
• с персонального компьютера – с помощью электронного дисплея интерфейса, либо через клавиатуру компьютера любыми цифрами

Определение и особенности

Основной особенностью куба является то, что все его грани являются квадратами. Все грани смежные и с равными сторонами, а также перпендикулярны друг другу. Благодаря этим свойствам куб обладает симметрией и регулярностью, что делает его удобным объектом для изучения и применения в геометрии и математике.

Куб также обладает другими интересными особенностями. Например, все его диагонали имеют одинаковую длину и проходят через центры граней. Это делает его еще более регулярным и помогает в решении различных задач и расчетов.

Куб используется не только в геометрии и математике, но и на практике. Его правильная форма и симметрия делают его удобным для хранения и транспортировки различных предметов. Кубы используются в строительстве для создания устойчивых и прочных конструкций, а также в играх и пазлах для развития логического мышления.

Важно отметить, что объем куба может быть вычислен с помощью специальной формулы. Это позволяет точно рассчитать объем различных объектов, которые имеют форму куба, и использовать эту информацию для различных целей и задач

Особенности	Значение
Количество граней	6
Количество ребер	12
Количество вершин	8
Формула объема	V = a³, где a — длина ребра

Как выглядит куб?

Куб имеет симметрию относительно центра, что значит, что он выглядит одинаково независимо от того, с какой стороны его рассматривать. Каждая грань куба является прямоугольником, а все грани куба имеют одинаковую форму и размер.

Одна из особенностей куба – это его ребра. Ребра куба являются прямыми отрезками, соединяющими вершины куба. Все ребра куба равны между собой по длине и пересекаются под прямыми углами.

Вершины куба представляют собой точки, где пересекаются ребра. В кубе есть восемь вершин, исключающих друг друга парно. Каждая вершина куба является общей для трех ребер и трех граней.

Таким образом, куб — это простая, но важная геометрическая фигура, которая обладает рядом уникальных свойств и характеристик.

Сколько граней, вершин и ребер в кубе?

Грани куба, как и вершины, являются трехмерными объектами. Грань — это плоская поверхность, образованная смежными ребрами. В кубе каждая вершина соединена с тремя ребрами, и смежные ребра встречаются в каждой вершине под прямым углом.

Количество граней, вершин и ребер в кубе можно посчитать с помощью формулы Эйлера: F — E + V = 2, где F — количество граней, E — количество ребер, V — количество вершин. В случае куба, подставив значения F = 6, E =12 и V = 8 в формулу, мы получим 6 — 12 + 8 = 2, что соответствует ожидаемому результату.

Куб является одним из наиболее известных тел в геометрии и математике. Его регулярная форма и относительная простота делают его полезным объектом для изучения и использования в различных задачах. В геометрии куб используется для демонстрации принципов объема, площади и длины. В математике куб также является основой для изучения пространства и формулы объема.

Зачем используется куб в геометрии и математике?

В геометрии куб является одним из основных многогранных тел. Он характеризуется тем, что у него все грани одинаковой формы и размера, и все углы прямые. Это делает его идеальным объектом для изучения и анализа различных геометрических проблем и задач.

Куб также широко используется в математике. Он является примером правильного многогранника, и его особые свойства позволяют решать различные задачи и проблемы в математических исследованиях.

Один из ключевых аспектов использования куба в геометрии и математике — это его связь с объемом и площадью. Объем куба можно легко вычислить по его стороне или диагонали с использованием специальной формулы. Это позволяет решать задачи, связанные с расчетом объема объектов, например, при проектировании зданий или изучении физических свойств материалов.

Куб также используется в различных играх и головоломках, которые помогают развивать пространственное мышление, логическое мышление и навыки решения проблем.

В целом, куб играет важную роль в геометрии и математике, предоставляя нам мощный инструмент для анализа и решения различных задач. Его геометрические и математические характеристики позволяют использовать его в широком диапазоне областей, от науки до повседневной жизни.

Видео:УКРАИНСКАЯ ШКОЛА МАТЕМАТИКИ ПРОТИВ РОZZИЙСКОЙ ! СКОЛЬКО БУДЕТ ТРИ В КУБЕ ?Скачать

Что такое куб числа 5 класс

Куб числа – это результат умножения числа самого на себя два раза.

Для того, чтобы найти куб числа, число нужно умножить на себя два раза. Иными словами, куб числа получается при умножении числа на его квадрат. Например, чтобы найти куб числа 5, нужно умножить 5 на его квадрат, то есть на 25.

Куб числа можно записать с помощью следующей формулы:

a^3 = a * a * a

где a — исходное число, a^3 — его куб.

Примеры:

1. Куб числа 2: 2^3 = 2 * 2 * 2 = 8.
2. Куб числа 4: 4^3 = 4 * 4 * 4 = 64.
3. Куб числа 10: 10^3 = 10 * 10 * 10 = 1000.

Задачи, связанные с кубом числа:

1. Найдите куб числа 7.
2. Необходимо найти число, куб которого равен 125.

Решение задач:

1. Куб числа 7: 7^3 = 7 * 7 * 7 = 343.
2. Чтобы найти число, куб которого равен 125, нужно найти третий корень из 125. Так как 5^3 = 125, ответом будет число 5.

Таким образом, куб числа представляет собой результат умножения числа самого на себя два раза и записывается в виде a^3. Зная формулу куба числа, можно легко находить его значение в задачах и примерах.

Полезные формулы

При изучении куба числа важно запомнить несколько полезных формул:

1. Объем куба вычисляется по формуле: V = a^3, где a — длина ребра куба.

2. Площадь боковой поверхности куба вычисляется по формуле: S = 4a^2, где a — длина ребра куба.

3. Длина диагонали куба вычисляется по формуле: d = a√3, где a — длина ребра куба.

Зная эти формулы, можно решать задачи на вычисление параметров куба числа.

Например, задача:

Найдите площадь боковой поверхности куба, если длина его ребра равна 5 см.

Решение:

1. Подставляем в формулу значение длины ребра: S = 4 * 5^2 = 4 * 25 = 100 см2.
2. Ответ: площадь боковой поверхности куба равна 100 см2.

В результате использования этих формул задачи на вычисление параметров куба становятся более простыми и понятными.

Также полезно запомнить формулу для вычисления суммы всех ребер куба:

Сумма ребер куба равна: SR = 12a, где a — длина ребра куба.

Секреты треугольника

Конечно, сейчас большинство расчётов для решения задач не в классе можно сделать с помощью онлайн-калькулятора. Как пользоваться треугольником Паскаля и для чего он нужен, обычно рассказывают в школьном курсе математики. Однако его применение может быть гораздо шире, чем принято думать.

Начать следует со скрытых последовательностей. Первые два столбца фигуры не слишком интересны — это только цифры и натуральные числа. Следующий столбец — треугольные числа. Можно думать о них, как о серии точек, необходимых для создания групп треугольников разных размеров.

Точно так же четвёртый столбец — это тетраэдрические числа или треугольные пирамидальные. Как следует из их названия, они представляют собой раскладку точек, необходимых для создания пирамид с треугольными основаниями.

Столбцы строят таким образом, чтобы описывать «симплексы», которые являются просто экстраполяциями идеи тетраэдра в произвольные измерения. Следующий столбец — это 5-симплексные числа, затем 6-симплексные числа и так далее.

Полномочия двойки

Если суммировать каждую строку, получатся степени основания 2 начиная с 2⁰ = 1. Если изобразить это в таблице, то получится следующее:

1
1	+	1	=	2
1	+	2	+	1	=	4
1	+	3	+	3	+	1	=	8
1	+	4	+	6	+	4	+	1	=	16
1	+	5	+	10	+	10	+	5	+	1	=	32
1	+	6	+	15	+	20	+	15	+	6	+	1	=	64

Суммирование строк показывает силы базы 2.

Силы одиннадцати

Треугольник также показывает силы основания 11. Всё, что нужно сделать, это сложить числа в каждом ряду вместе. Как показывает исследовательский опыт, этого достаточно только для первых пяти строк. Сложности начинаются, когда записи состоят из двузначных чисел. Например:

1	=	11°
11	=	11¹
121	=	11²
1331	=	11³

Оказывается, всё, что нужно сделать — перенести десятки на одно число слева.

Совершенные квадраты

Если утверждать, что 4² — это 6 + 10 = 16, то можно найти идеальные квадраты натуральных чисел в столбце 2, суммируя число справа с числом ниже. Например:

• 2² → 1 + 3 = 4
• 3² → 3 + 6
• 4² → 6 + 10 = 16 и так далее.

Комбинаторные варианты

Чтобы раскрыть скрытую последовательность Фибоначчи, которая на первый взгляд может отсутствовать, нужно суммировать диагонали лево-выровненного паскалевского треугольника. Первые 7 чисел в последовательности Фибоначчи: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13… найдены. Используя исходную ориентацию, следует заштриховать все нечётные числа, и получится изображение, похожее на знаменитый фрактальный треугольник Серпинского.

Фигурные числа в алгебре и геометрии

Фигурные числа — это числовая последовательность, которая может быть выражена в виде геометрической фигуры. Например, треугольные числа, квадратные числа и пентагональные числа.

В алгебре фигурные числа используются для решения различных задач, связанных с арифметикой и счетом. Они могут быть использованы, например, для вычисления суммы первых n членов последовательности.

В геометрии фигурные числа связаны с определенными фигурами. Треугольные числа, например, соответствуют фигуре треугольника, а квадратные числа — квадрату. Фигурные числа могут быть использованы, например, для вычисления количества элементов, которые могут быть размещены внутри определенной фигуры.

При работе с фигурными числами полезно использовать таблицы, где могут быть представлены значения последовательности и соответствующие им геометрические фигуры. Также, для вычислений могут быть использованы формулы, специально разработанные для работы с фигурными числами.

• Треугольные числа: 1, 3, 6, 10, 15, 21, …
• Квадратные числа: 1, 4, 9, 16, 25, 36, …
• Пентагональные числа: 1, 5, 12, 22, 35, 51, …

Применение рядов Фибоначчи в информатике и программировании

Последовательность Фибоначчи — один из классических примеров рекурсии в математике. Рекурсией называется функция, определяющая свое значение через обращение к самой себе. Рекурсивные алгоритмы используются в программировании для упрощения вычислений. Умение обращаться с ними является одним из базовых навыков программиста. Поэтому расчет числа Фибоначчи (достаточно простой рекуррентной функции) часто является тестовым заданием, которое дается соискателю на вакансию программиста для проверки его навыков или применяется в обучении будущих кодеров.

Станьте дата-сайентистом и решайте амбициозные задачи с помощью нейросетей

Подробнее

Например, так выглядит рекурсивный поиск чисел Фибоначчи на языке Python:

def fibonacci(n):if n in (1, 2):return 1return fibonacci(n — 1) + fibonacci(n — 2)print (fibonacci(10))

Проблема рекурсивного нахождения чисел Фибоначчи в том, что после определенного предела процесс сильно замедляется. Причина — в самой природе рекурсии: основанная на ней программа постоянно обращается сама к себе. Если число n (номер искомого элемента ряда) большое, обычный компьютер просто не справится или процесс займет слишком много времени.

Поэтому для нахождения чисел Фибоначчи применяются и другие способы — например, обычный цикл (язык Python):

fib1 = fib2 = 1n = input («Номер элемента ряда Фибоначчи: «)n = int(n) — 2while n > 0:fib1, fib2 = fib2, fib1 + fib2n -= 1print («Значение этого элемента: «, fib2)

Что такое степень числа

Степени обозначаются с помощью вверху и справа от числа небольшими цифрами, которые называются показателями степени. Например, число 2 в кубе (2³) означает, что 2 нужно умножить на себя три раза: 2 * 2 * 2 = 8.

Степень может быть любым целым числом: положительным, отрицательным или нулевым. Если показатель степени положителен, то число умножается на само себя столько раз, сколько указано в показателе. Если показатель степени отрицателен, то число становится знаменателем дроби и его аргумент применяется к обратному значению числа. Если показатель степени равен 0, то результатом будет всегда 1.

Например:

• 2³ = 2 * 2 * 2 = 8
• 5⁴ = 5 * 5 * 5 * 5 = 625
• 10⁰ = 1
• 8⁻² = 1 / (8 * = 1/64

Степени часто используются в математике, физике и других научных дисциплинах для упрощения больших и сложных вычислений.

Как появилось понятие куб числа?

Древнегреческие математики оперировали так называемыми фигурными числами – числами, которые можно представить в виде фигуры. Выделялись, например:

Кубические числа выделялись в особый вид фигурных чисел, поскольку куб числа x равен объёму куба с длиной ребра, равной x .

Последовательность кубов натуральных чисел выглядит так

Полезно будет запомнить, хотя бы те, что меньше тысячи. Особенно мне нравится число 729. Посмотрите:

• 729 равно 9 в кубе;
• 729 равно 3 в шестой степени;
• 729 равно 27 в квадрате, что очень сильно нравилось пифагорейцам. Например, Платон считал, что количество ночей и дней в году равняется 729 (364, 5 на каждое время суток). Кроме того, он считал, что жизнь царя должна длиться 729 месяцев (около 67 лет).

Еще несколько интересных свойств кубов чисел:

1728 является количеством кубических дюймов в кубическом футе;

1728 – единственный композиториал , являющийся одновременно кубом числа. Композиториал – это факториал ( о нем я достаточно интересно уже писал ), деленный на праймориал – последовательность произведения простых чисел, меньше данного.

Вот так, к слову выглядит формула вычисления суммы первых кубов чисел:

Подмножества

Всякий квадрат является прямоугольником. Из этого следует, что множество
квадратов является частью множества прямоугольников, или, как говорят в математике,
является подмножеством множества прямоугольников.

Множество включено в множество
(символическая запись ),
если любой элемент множества принажлежит множеству
. В этом случае множество
является подмножеством множества .

Если и , то
пишут и говорят, что
множество строго включено в множество
или что
есть собственное подмножество .

Например, если и
, то
есть собственное подмножество
.

Верно следующее утверждение: пустое множество есть подмножество любого
множества, то есть для любого множества

.

Если множество содержит по крайней мере два элемента, то оно имеет
всевозможные подмножества, среди которых есть и собственные подмножества.

Например, всевозможные подмножества множества это

из которых и
— собственные
подмножества множества .

Множество всех подмножеств множества
называется множеством-степенью множества и обозначается
.

Например, если ,
то

Теорема о мощности множества степени:

Если , то
.

Упомянем пример практического применения этого понятия теории множеств — подмножества —
в теории игр: с помощью подмножеств моделируется создание коалиций и проверяется, выгодно ли игрокам (в частности,
в бизнесе) объединяться в коалиции для достижения общих целей.

Свойства куба

Куб — это трехмерное геометрическое тело, состоящее из 6 равных квадратных граней. Каждый угол куба состоит из трех ребер.

Куб обладает следующими свойствами:

• Все грани куба являются квадратами. Все стороны каждого квадрата равны между собой.
• Все ребра куба имеют одинаковую длину.
• Углы куба прямые (равны 90 градусам).
• Диагонали каждой грани куба имеют одинаковую длину.
• Объем куба можно вычислить по формуле: объем = (длина ребра)³.
• Площадь поверхности куба можно вычислить по формуле: площадь = 6 * (длина ребра)².

Пример задачи:

Найдите объем и площадь поверхности куба, у которого длина ребра равна 5 см.

Величина	Значение
Длина ребра	5 см
Объем	125 см³
Площадь поверхности	150 см²

Натуральная степень числа

По самому определению cтепeнь некого числa a с n — натуральным показателем — будет равна произведению из n множителей, каждый из которых, в свою очередь, равен числу a. Иначе говоря, чтобы возвести некое число a в n-cтепень, необходимо рассчитать произведение вида a*a…*a, поделенное на n. В связи с этим ясно, что возведение в n-степeнь (то есть натуральную) основывается на умении осуществлять умножение чисел, а как именно это следует делать, можно узнать, ознакомившись с разделом об умножении действительных чисел.

Опишем способы решения на некоторых примерах.

1. Пример 1. Задача Требуется выполнить возведение числa минус два в cтепень 4. Решение задачи. По понятию cтeпени числa с натуральным показателем, мы имеем следующее: (-2)^4 =(-2)*(-2)*(-2)*(-2). Все очень просто. Теперь остается только лишь произвести умножение целых чисел, получаем: (-2)*(-2)*(-2)*(-2) = 16. Записываем ответ: (-2)^4 = 16.
2. Пример 2. Определите значение степени: ( 3 2/7 )^2 (три целых две седьмых во второй cтепeни). Решение задачи. Вторая степeнь данного числа равна произведению следующего вида: три целых две седьмых, умноженное на три целых две седьмых. Теперь остаётся лишь вспомнить порядок выполнения умножения смешанных чисел, которые нужно закончить возведением в степeнь. Получаем следующий ответ: 10 39/49 (десять целых, тридцать девять сорок девятых).

Иррациональные числa

Что касаемо возведения иррациональных чисел в натуральную cтепень, то его следует проводить по окончании подготовительного округления основы cтепени до какого-либо разряда, который позволил бы извлечь значение с установленной cтепенью точности.

Пример:

• К примеру, нам следует возвести в квадрат числo пи.
• Если его предварительно округлить до сотых, то тогда мы получим 9,8596 (пи квадрат).
• Если взять просто пи — 3,1415 — возведение в «квадрат» без округления даст следующее значение 9,8695877281.

Здесь следует отметить, что во многих задачах не требуется иррациональные чиcла возводить в степень. Как правило, ответ заносится или в виде самой cтепени, к примеру, (ln6)^3, либо, если есть возможность, проводят преобразование выражения: корень из пяти в cтепени 7 равен ста двадцати пяти корня из пяти.

Заблуждения, связанные с числами Фибоначчи

Благодаря современной поп-культуре с этой числовой последовательностью связано множество популярных мифов:

• Универсальность. Во многих источниках числа Фибоначчи и золотая спираль позиционируются как универсальный закон мироздания, с помощью которого можно описать любой природный процесс или объекты, от расположения лепестков цветка до формы спиральных галактик. Хотя в отношении многих природных явлений это действительно так, принцип не является всеобъемлющим: например, те же рукава спиральных галактик или раковина моллюска наутилуса закручены по логарифмической спирали, которая, хоть и близка по форме к золотой, все же ей не является.
• Идеальность. Распространено мнение, что золотое сечение и спираль Фибоначчи описывают идеальные пропорции. Однако исследования показали, что объекты, построенные по этому принципу (например человеческое тело), при демонстрации обычным людям воспринимаются обычно как диспропорциональные, вытянутые. Отсюда является заблуждением и утверждение, что все великие художники эпохи Возрождения и последующих времен использовали принцип золотой спирали в своих работах. Такие эксперименты действительно случались, но это не было распространенным явлением.
• Практическая применимость. Еще один миф говорит о том, что использование золотого сечения и чисел Фибоначчи в любом сфере деятельности дает положительный результат. Но, например, криптографы знают, что метод Фибоначчи с запозданием не является идеальным способом усилить шифрование — многие генераторы случайных чисел на его основе либо медленно работают, либо имеют недостаточный порог устойчивости к взлому. А использование принципов золотого сечения в архитектуре или промышленном дизайне редко сочетается с оптимизацией производства.

Вместе с тем нельзя отрицать большую роль фибоначчиевых чисел в развитии фундаментальной и прикладной математики, информатики и смежных с ними наук. Разработанные на основе золотой спирали методы и технологии широко применяются в разных областях человеческой жизни, от сугубо научных до прикладных, таких как компьютерная графика, криптография, программирование, обработка данных и т.д.

Выберите IT-профессию, которая вам нравится, а мы поможем научиться:

Другие термины на «Ч»

Чат-бот
Все термины