Чем отличается куб от прямоугольного параллелепипеда

5.3.2 Параллелепипед; куб; симметрии в кубе, в параллелепипеде

Видеоурок 1: Параллелепипед

Видеоурок 2: Прямоугольный параллелепипед

Лекция: Параллелепипед; куб; симметрии в кубе, в параллелепипеде

Параллелепипед

Основной тип объемной фигуры мы выучили. Однако в зависимости от вида многоугольника, который лежит в основании, призма может видоизменяться.

Призма, в основании которой лежит параллелограмм, называется параллелепипедом.

Все, что мы изучали ранее о призме, можно использовать и при изучении параллелепипеда.

Параллелепипед имеет 6 граней, две из которых являются основаниями. У параллелепипеда все противолежащие грани равны между собой.

Параллелепипеды могут быть прямоугольными (те, у которых угол между всеми соседними ребрами прямой), а так же наклонными (те, у которых угол между соседними ребрами отличается от прямого).

Любой параллелепипед имеет вершины. Вершинами параллелепипеда являются вершины соответствующих граней.

В качестве оснований призмы можно выбрать любые параллельные грани.

Если грани параллелепипеда имеют одно общее ребро, то они называются смежными, если же таковых не имеется, то грани противоположные.

Любой отрезок, который соединяет вершины противоположных граней, называется диагональю этой призмы.

Любые три ребра, которые имеют общую вершину, называются характеристиками параллелепипеда, то есть являются его длиной, шириной и высотой.

Какой бы параллелепипед Вы не построили бы, он должен иметь симметрию относительно любой диагонали данной фигуры.
Если построить несколько диагоналей, то они пересекутся в точке, которая поделит их на две равные части.
Любые две грани, которые лежат друг против друга, имеют одинаковую длину, и обязательно параллельны.
Сумма квадратов длины, ширины и высоты равна квадрату диагонали.

Формулы полной поверхности и объема прямоугольного параллелепипеда:

Куб

Частным случаем параллелепипеда является куб. С ним все намного проще: куб – это параллелепипед, у которого все грани являются квадратами. Причем все соседние ребра перпендикулярные друг другу.

Все свойства, которые изучались для призмы и для параллелепипеда, справедливы и для куба.

У куба все грани являются правильными четырехугольниками, которые лежат под углом 90 градусов друг к другу. При этом стоит помнить, что для того, чтобы найти площадь одной грани, необходимо воспользоваться формулой площади квадрата S = a 2 . Мы знаем, что куб состоит из 6 граней, а это значит, что для нахождения площади поверхности куба, достаточно просто площадь одной грани умножить на 6. S_общ = 6a 2

Если некоторый отрезок проходит через центр куба (место, где пересекаются все диагонали куба), через центры параллельных граней, то он будет называться осью данного куба.

С легкостью можно найти диагональ куба. Для этого достаточно воспользоваться формулой:

Объем куба можно определить по известной длине стороны или же по диагоналям:

Если провести сечение через диагонали, через центр куба, или же просто взять его ось или диагонали, то куб всегда будет симметричен относительно всего перечисленного.

Расчетные формулы

Формулы для каждого частного случая параллелепипеда будут свои.

Для произвольного параллелепипеда верно утверждение, что его объем равен абсолютной величине тройного скалярного произведения векторов трех сторон, исходящих из одной вершины. Однако формулы для вычисления объема произвольного параллелепипеда не существует.

Для прямоугольного параллелепипеда действуют следующие формулы:

V=a*b*c;
Sб=2*c*(a+b);
Sп=2*(a*b+b*c+a*c).

V — объем фигуры;
Sб — площадь боковой поверхности;
Sп — площадь полной поверхности;
a — длина;
b — ширина;
c — высота.

Еще одним частным случаем параллелепипеда, в котором все стороны — квадраты, является куб. Если любую из сторон квадрата обозначить буквой a, то для площади поверхности и объема данной фигуры можно будет использовать следующие формулы:

S=6*a*2;
V=3*а.

S — площадь фигуры,
V — объем фигуры,
a — длина грани фигуры.

Последняя рассматриваемая нами разновидность параллелепипеда — прямой параллелепипед. В чем разница между прямым параллелепипедом и прямоугольным параллелепипедом, спросите вы. Дело в том, что основанием прямоугольного параллелепипеда может быть любой параллелограмм, а основанием прямого — только прямоугольник. Если обозначить периметр основания, равный сумме длин всех сторон, как Po, а высоту обозначить буквой h, мы имеем право воспользоваться следующими формулами для вычисления объема и площадей полной и боковой поверхностей.

На этом уроке все желающие смогут изучить тему «Прямоугольный параллелепипед». В начале урока мы повторим, что такое произвольный и прямой параллелепипеды, вспомним свойства их противоположных граней и диагоналей параллелепипеда. Затем рассмотрим, что такое прямоугольный параллелепипед, и обсудим его основные свойства.

Тема: Перпендикулярность прямых и плоскостей

Урок: Прямоугольный параллелепипед

Измерения прямоугольного параллелепипеда выражаются простыми числами его объем равен 66 сантиметров в кубе 195 сантиметрам в кубе 255 сантиметрам в кубе Каковы размеры прямоугольного параллелепипеда?

Измерения прямоугольного параллелепипеда выражаются простыми числами его объем равен 66 сантиметров в кубе 195 сантиметрам в кубе 255 сантиметрам в кубе Каковы размеры прямоугольного параллелепипеда.

Вы перешли к вопросу Чем отличается прямоугольный параллелепипед от куба?. Он относится к категории Математика, для 1 — 4 классов. Здесь размещен ответ по заданным параметрам. Если этот вариант ответа не полностью вас удовлетворяет, то с помощью автоматического умного поиска можно найти другие вопросы по этой же теме, в категории Математика. В случае если ответы на похожие вопросы не раскрывают в полном объеме необходимую информацию, то воспользуйтесь кнопкой в верхней части сайта и сформулируйте свой вопрос иначе. Также на этой странице вы сможете ознакомиться с вариантами ответов пользователей.

1 час = 60 минут 60 — 40 = 20 (мин) Ответ : на 20 минут больше Юля играла на пианино.

РЕШАЕМ! : ) 1)24 + 18 = 42(кг)меда собрали 2)42 : 6 = 7 бидонов))))))))))))))))).

1. 24 + 18 = 42(кг) — собрали всего 2. 42 : 6 = 7(б) Ответ : 7 бидонов понадобилось.

1. 4, 08 * 28, 6 — 18, 6 * 4, 08 = 40, 8 2. 5500 книг.

У каждого 106 маек 65 футболок может быть.

37х = 259 х = 259 : 37 х = 7 252 : у = 21 у = 252 : 21 у = 12.

Х / 5 + х / 8 = — 4 8х / 40 + 5х / 40 = — 4 13х / 40 = — 4 13х = 40× — 4 13х = — 160 х = — 160 : 13 х = — 12, 3 ( — 12, 3 : 5) + ( — 12, 3 : = — 4 ( — 2, 46) + ( — 1, 5, 3) = — 4 — 2, 5 + — 1, 5 = — 4 — 4 = — 4.

Нет, на полке поместиться только 96 журналов.

Нет, т. К. 1, 3 * 100 = 130 см. А полка длинной 125см.

Примеры решения типовых заданий ЕГЭ

Задание 1.

Дано
: прямоугольный параллелепипед с измерениями 3, 4 и 12 см.Необходимо
найти длину одной из главных диагоналей фигуры.Решение
: Любое решение геометрической задачи должно начинаться с построения правильного и четкого чертежа, на котором будет обозначено «дано» и искомая величина. На рисунке ниже приведен пример правильного оформления условий задания.

Рассмотрев сделанный рисунок и вспомнив все свойства геометрического тела, приходим к единственно верному способу решения. Применив 4 свойство параллелепипеда, получим следующее выражение:

После несложных вычислений получим выражение b2=169, следовательно, b=13. Ответ задания найден, на его поиск и чертеж необходимо потратить не более 5 минут.

В переводе с греческого языка параллелограмм означает плоскость. Параллелепипед – это призма, в основании которой лежит параллелограмм. Существуют пять типов параллелограмма: наклонный, прямой и прямоугольный параллелепипед. Куб и ромбоэдр также относятся к параллелепипеду и являются его разновидностью.

Перед тем как перейти к основным понятиям, дадим некоторые определения:

Диагональю параллелепипеда является отрезок, который объединяет вершины параллелепипеда, находящиеся напротив друг друга.
Если две грани имеют общее ребро, то можно назвать их смежными ребрами. Если же общего ребра нет, то грани именуются противоположными.
Две вершины, не лежащие на одной грани, именуются противоположными.

Какие виды параллелепипеда бывают?

Теперь разберёмся в том, какие параллелепипеды бывают. Как уже упомянуто выше, существует несколько типов этой фигуры: прямой, прямоугольный, наклонный параллелепипед, а также куб и ромбоэдр. Чем же они отличаются между собой? Все дело в образующих их плоскостях и углах, которые они образуют.

Разберемся более подробно с каждым из перечисленных видов параллелепипеда.

Как уже понятно из названия, наклонный параллелепипед имеет наклонные грани, а именно такие грани, которые находятся по отношению к основанию не под углом 90 градусов.
А вот у прямого параллелепипеда угол между основанием и гранью как раз составляет девяносто градусов. Именно по этой причине этот вид параллелепипеда имеет такое название.
Если же все грани параллелепипеда – это одинаковые квадраты, то можно считать эту фигуру кубом.
Прямоугольный параллелепипед получил такое название из-за образующих его плоскостей. Если все они являются прямоугольниками (и основание в том числе), то это прямоугольный параллелепипед. Такой вид параллелепипеда встречается не так часто. В переводе с греческого ромбоэдр означает грань или основание. Так называют трехмерную фигуру, у которой гранями являются ромбы.

Измерения прямоугольного параллелепипеда выражаются простыми числами его объем равен 66 сантиметров в кубе 195 сантиметрам в кубе 255 сантиметрам в кубе Каковы размеры прямоугольного параллелепипеда?

1 час = 60 минут 60 — 40 = 20 (мин) Ответ : на 20 минут больше Юля играла на пианино.

РЕШАЕМ! : ) 1)24 + 18 = 42(кг)меда собрали 2)42 : 6 = 7 бидонов))))))))))))))))).

1. 24 + 18 = 42(кг) — собрали всего 2. 42 : 6 = 7(б) Ответ : 7 бидонов понадобилось.

1. 4, 08 * 28, 6 — 18, 6 * 4, 08 = 40, 8 2. 5500 книг.

У каждого 106 маек 65 футболок может быть.

37х = 259 х = 259 : 37 х = 7 252 : у = 21 у = 252 : 21 у = 12.

Нет, на полке поместиться только 96 журналов.

Нет, т. К. 1, 3 * 100 = 130 см. А полка длинной 125см.

Какие виды параллелепипеда бывают?

Разберемся более подробно с каждым из перечисленных видов параллелепипеда.

Как уже понятно из названия, наклонный параллелепипед имеет наклонные грани, а именно такие грани, которые находятся по отношению к основанию не под углом 90 градусов.
А вот у прямого параллелепипеда угол между основанием и гранью как раз составляет девяносто градусов. Именно по этой причине этот вид параллелепипеда имеет такое название.
Если же все грани параллелепипеда – это одинаковые квадраты, то можно считать эту фигуру кубом.
Прямоугольный параллелепипед получил такое название из-за образующих его плоскостей. Если все они являются прямоугольниками (и основание в том числе), то это прямоугольный параллелепипед. Такой вид параллелепипеда встречается не так часто. В переводе с греческого ромбоэдр означает грань или основание. Так называют трехмерную фигуру, у которой гранями являются ромбы.

Математика

Все двухгранные углы прямоугольного параллелепипеда —прямые Для следующего свойства нужно вспомнить, что в пространстве прямоугольный параллелепипед характеризуется шириной, длиной и высотой. Длины этих трех ребер назовем измерениями прямоугольного параллелепипеда На экране изображение и текст: Длины трёх рёбер, имеющих общую вершину называются измерениями прямоугольного параллелепипеда. В силу этих изменений, для основания длину и ширину можно назвать измерениями прямоугольника. И свойство диагонали прямоугольника сформулировать так: квадрат диагонали прямоугольника равен сумме квадратов двух его измерений.

Прямой параллелепипед может быть прямоугольным — основаниями являются прямоугольники. Наклонный параллелепипед — боковые грани не перпендикулярны основаниям. Куб — все грани фигуры являются равными квадратами. Если все грани параллелепипеда — это одинаковые ромбы, он называется ромбоэдром. Свойства параллелепипеда 1. Противоположные грани параллелепипеда взаимно параллельны и являются равными параллелограммами. Все диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и в ней делятся пополам. Квадрат диагонали d прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений: длины a , ширины b и высоты c. Прямоугольный параллелепипед. Что это такое? Определение параллелепипеда Начнем с того, что узнаем, что такое параллелепипед. Параллелепипедом называется призма, основаниями которой являются параллелограммы. Другими словами, параллелепипед — это многогранник с шестью гранями. Каждая грань — параллелограмм.

Каждый прямоугольник перпендикулярен тем, что имеет общий край. Они наиболее распространены в нашей повседневной жизни, так как это обычный способ обувных коробок и кирпичей.. Куб или правильный шестигранник Это частный случай предыдущего, где каждая из граней является квадратом. Куб также является частью геометрических тел, называемых платоновыми телами. Платоническое тело представляет собой выпуклый многогранник, так что его грани и внутренние углы равны друг другу. Эти алмазы все равны между собой, так как они имеют общие края. Romboiedro Его шесть граней — ромбоиды. Напомним, что ромбоид представляет собой многоугольник с четырьмя сторонами и четырьмя углами, которые равны от двух до двух. Ромбоиды — это параллелограммы, которые не являются ни квадратными, ни прямоугольниками, ни ромбами. С другой стороны, косые параллелепипеды — это те, в которых хотя бы одна высота не совпадает с ее краем. В эту классификацию мы можем включить ромбоэдры и ромбиэдры. Диагональный расчет Чтобы вычислить диагональ ортоэдра, мы можем использовать теорему Пифагора для R3. Напомним, что ортоэдр имеет характеристику, состоящую в том, что каждая сторона перпендикулярна сторонам, имеющим общий край. Из этого факта мы можем сделать вывод, что каждое ребро перпендикулярно тем, которые имеют общую вершину. Чтобы вычислить длину диагонали ортоэдра, действуем следующим образом: 1. Мы рассчитаем диагональ одной из граней, которую мы положим в качестве основы. Для этого мы используем теорему Пифагора.

Вот по этому в нашей задаче прямо говорится об этом. Если верить Священным Писаниям разных религий, то именно из одного такого ребра сотворены все прямоугольные параллелепипеды, задачи о которых решает вся прекрасная половина человечества. Следующая фраза «… равны 1, 2, 3» обозначает, что нам не нужно искать этот злополучный прямоугольный параллелепипед и свою линейку, чтобы измерить длины его граней, как это показано на рисунке. Тот, кто эту задачу придумал, уже сам всё измерил или выдумал эти размеры, что в данном случае принципиального значения не имеет. Кто есть кто в этом списке чисел? Где длина, ширина, высота нашего параллелепипеда? Нам это без разницы. Как бы мы этот прямоугольный параллелепипед не крутили, площадь его поверхности всегда будет оставаться неизменной. Предыдущие поколения математиков этот факт не единожды проверили. Когда мы доберемся до решения, мы сами в этом убедимся. Теперь вопрос, в чём же конкретно измеряется наш прямоугольный параллелепипед и площадь его поверхности? В каких единицах измерения? Ответ довольно прост — в любых единицах измерения длины. Англичане и американцы любят дюймы, футы, мили. Мы предпочитаем сантиметры, метры, километры. В чем измеряют длину инопланетяне? Мы вообще не знаем. Да нам эти единицы измерения и не важны. В чем бы мы не измеряли длину граней, циферки возле длин и площади будут одинаковыми. Циферки остаются, единицы измерения меняются.

Вместо заключения

Слово ПРИЗМА используется не только в геометрии, хотя именно это значение считается главным. И именно оно первым записано во многих словарях. Но есть и другие варианты:

Физика– устройство для преломления световых лучей.
Риторика– оценка с учетом определенных факторов. Например, «Он смотрел на нее через призму прожитых лет» или «Он общался с ними через призму своего настроения».
Техника– элемент металлорежущего станка, который предназначен для закрепления на нем цилиндрической заготовки.

А еще «Призма» — это кодовое название советской радиостанции 5-АК. Есть такой хоккейный клуб в Латвии – «Призма-Рига». И наконец, в Финляндии существует сеть продуктовых магазинов «PRISMA».

Призма

Призма – это геометрическая фигура в пространстве; многогранник с двумя параллельными и равными гранями (многоугольниками), а другие грани при этом являются параллелограммами.

Боковое ребро – отрезок, соединяющий соответствующие друг другу вершины разных оснований (AA₁, BB₁, CC₁ и DD₁). Является общей стороной двух боковых граней.
Высота (h) – это перпендикуляр, проведенный от одного основания к другому, т.е. расстояние между ними. Если боковые ребра расположены под прямым углом к основаниям фигуры, значит они одновременно являются и высотами призмы.
Диагональ основания – отрезок, который соединяет две противолежащие вершины одного и того же основания (AC, BD, A₁C₁ и B₁D₁). У треугольной призмы данного элемента нет.
Диагональ боковой грани – отрезок, который соединяет две противолежащие вершины одной и той же грани. На рисунке изображены диагонали только одной грани (CD₁ и C₁D), чтобы не перегружать его.
Диагональ призмы – отрезок, соединяющий две вершины разных оснований, не принадлежащих одной боковой грани. Мы показали только две из четырех: AC₁ и B₁D.
Поверхность призмы – суммарная поверхность двух ее оснований и боковых граней.

Основные свойства призмы

Основы призмы — равные многоугольники.
Боковые грани призмы — параллелограммы.
Боковые ребра призмы параллельны и равны между собой.
Перпендикулярное сечение перпендикулярно всем боковым ребрам и боковым граням.
Высота прямой призмы равна длине бокового ребра.
Высота наклонной призмы всегда меньше длины ребра.
В прямой призме гранями могут быть прямоугольниками или квадратами.

Варианты сечения призмы

1. Диагональное сечение – секущая плоскость проходит через диагональ основания призмы и два соответствующих боковых ребра.

Примечание: у треугольной призмы нет диагонального сечения, т.к. основанием фигуры является треугольник, у которого нет диагоналей.

2. Перпендикулярное сечение – секущая плоскость пересекает все боковые ребра под прямым углом.

Виды призм

Рассмотрим разновидности фигуры с треугольным основанием.

Прямая призма– это такая геометрическая фигура, у которой боковые грани расположены под прямым углом к основаниям (т.е. перпендикулярны им). Высота такой фигуры равняется ее боковому ребру.
Наклонная призма– боковые грани фигуры не перпендикулярны ее основаниям.
Правильная призма – основаниями являются правильные многоугольники. Может быть прямой или наклонной.
Усеченная призма– часть фигуры, оставшаяся после пересечения ее плоскостью, не параллельной основаниям. Также может быть как прямой, так и наклонной.