примеров
1.- Рассмотрим целые числа 1 и 2. Наименьшее целое число равно 1. Используя приведенную выше формулу, мы заключаем, что сумма квадратов: 2 * (1) * (1 + 1) +1 = 2 * 2 + 1 = 4+ 1 = 5. Что согласуется с учетными записями, сделанными в начале.
2.- Если взять целые числа 5 и 6, то сумма квадратов будет 2 * 5 * 6 + 1 = 60 + 1 = 61, что также совпадает с результатом, полученным в начале.
3.- Если выбраны целые числа -10 и -9, то сумма их квадратов: 2 * (- 10) * (- 9) + 1 = 180 + 1 = 181.
4.- Пусть целые числа в этой возможности -1 и 0, тогда сумма их квадратов задается как 2 * (- 1) * (0) + 1 = 0 +1 = 1.
ссылки
- Бузас, П. Г. (2004). Алгебра в средней школе: совместная работа по математике. Narcea Editions.
- Кабелло, Р. Н. (2007). Полномочия и корни. Publicatuslibros.
- Кабрера, В. М. (1997). Расчет 4000. Редакция Прогресо.
- Гевара, М. Х. (с.ф.). Набор целых чисел. EUNED.
- Отейза, Е. д. (2003). Albegra. Пирсон Образование.
- Smith, S.A. (2000). алгебра. Пирсон Образование.
- Thomson. (2006). Проходя GED: Математика. Интерлингва Паблишинг.
Запишите числа которые в сумме дают число 125.
Задача: Данно число 125.Какие 2(два) числа дают в сумме число 125?Решение:
1) 32 + 93 = 125
2) 38 + 87 = 125
3) 5 + 120 = 125
4) 19 + 106 = 125
5) 34 + 91 = 125
Какие 3(три) числа дают в сумме число 125?Решение:
1) 1 + 25 + 99 = 125
2) 26 + 19 + 80 = 125
3) 15 + 22 + 88 = 125
4) 8 + 12 + 105 = 125
5) 25 + 30 + 70 = 125
Какие 4(четыре) числа дают в сумме число 125?Решение:
1) 24 + 26 + 8 + 67 = 125
2) 20 + 29 + 8 + 68 = 125
3) 22 + 33 + 27 + 43 = 125
4) 10 + 19 + 9 + 87 = 125
5) 27 + 2 + 39 + 57 = 125
Какие 5(пять) чисел дают в сумме число 125?Решение:
1) 14 + 15 + 28 + 23 + 45 = 125
2) 17 + 24 + 14 + 21 + 49 = 125
3) 11 + 12 + 17 + 16 + 69 = 125
4) 24 + 5 + 31 + 28 + 37 = 125
5) 21 + 14 + 7 + 25 + 58 = 125
Примеры задач
Задача 1
Дано несколько выражений, которые с применением формул сокращенного умножения требуется разложить на множители:
\(x^3+y^3\)
\(m^3-n^3\)
\(8a^3+1\)
\(125-64y^3\)
\(\frac{1}{8} k^6-8\)
\(27+ \frac{m^3}{125}\)
Решение
Вспомним правило куба суммы и выполним соответствующие преобразования. В результате:
\(x^3+y^3 = (x+y)(x^2-xy+y^2)\)
\(m^3-n^3 = (m-n)(m^2+mn+n^2)\)
\(8a^3+1 = (2a)^3+1^3 = (2a+1)(4a^2-2a+1)\)
\(125-64y^3 = 5^3-(4y)^3 = (5-4y)(25+20y+16y^2)\)
\(\frac{1}{8} k^6-8 = ( \frac{1}{2} k^2 )^3-2^3=(\frac{1}{2} k^2-2)(\frac{1}{4} k^4+k^2+4)\)
\(27+ \frac{m^3}{125} = 3^3+(\frac{m}{5})^3 = (3+\frac{m}{5})(9-\frac{3m}{5}+\frac{m^2}{25})\)
Ответ: \((x+y)(x^2-xy+y^2); (m-n)(m^2+mn+n^2); (2a+1)(4a^2-2a+1); (5-4y)(25+20y+16y^2); (\frac{1}{2} k^2-2)(\frac{1}{4} k^4+k^2+4); (3+\frac{m}{5})(9-\frac{3m}{5}+\frac{m^2}{25}).\)
Задача 2
Дано следующее выражение:
\(19^3-11^3\)
Необходимо представить доказательства его кратности числу 8.
Решение
Воспользуемся формулой разности кубов, которую достаточно просто получить из соотношения суммы кубов. Выполним преобразования путем деления данного выражения на число 8:
\(\frac{19^3-11^3}{8} = \frac{(19-11)(19^2+19\cdot11+11^2 )}{8} = \frac{8(19^2+19\cdot11+11^2 )}{8} = 19 ^2+19\cdot11+11^2\)
Ответ: выражение \(19^3-11^3\) кратно числу 8.
Задача 3
Дано несколько выражений, которые с помощью применения формул сокращенного умножения требуется записать в форме многочлена:
\((x+5)^3\)
\((9-z)^3\)
\((5b-3c)^3\)
\((2mk+1)^3\)
Решение
Выполним соответствующие преобразования, используя уже знакомые правила разложения кубов суммы и разности кубов на многочлены:
\((x+5)^3 = x^3+3\cdot x^2\cdot5+3\cdot x\cdot5^2+5^3 = x^3+15x^2+75x+125\)
\((9-z)^3 = 9^3-3\cdot9^2\cdot z+3\cdot9\cdot z^2-z^3 = 729-243+27z^2-z^3\)
\((5b-3c)^3 = (5b)^3-3\cdot(5b)^2\cdot3c+3\cdot5b\cdot(3c)^2-(3c)^3 = 125b^3-225b^2c+135bc^2-27c^3\)
\((2mk+1)^3 = (2mk)^3+3\cdot(2mk)^2\cdot1+3\cdot2mk\cdot1^2+1^3 = 8m^3k^3+12m^2k^2+6mk+1\)
Ответ: \(x^3+15x^2+75x+125; 729-243+27z^2-z^3; 125b^3-225b^2 c+135bc^2-27c^3; 8m^3k^3+12m^2k^2+6mk+1.\)
Задача 4
Необходимо записать в упрощенной форме следующие выражения:
\((a+2)^3-(a-2)^3\)
\((x-3y)^3+9xy(x-3y)\)
\((x+y)^3-x(x-y)^2\)
\(3m(k+3m)^2-(k+3m)^3\)
Решение
Заметим, что в данном случае целесообразно воспользоваться формулами сокращенного умножения. Применим куб суммы и куб разности, чтобы упростить соотношения и запишем ответы:
\((a+2)^3-(a-2)^3 = a^3+3a^2\cdot2+3a\cdot2^2+2^3-(a^3-3a^2\cdot2+3a\cdot2^2-2^3 )= 2\cdot6a^2-2\cdot8 = 12a^2-16\)
\((x-3y)^3+9xy(x-3y) = x^3-3x^2\cdot3y+3x\cdot(3y)^2-27y^3+9x^2 y-27xy^2 = x^3-27y^3\)
\((x+y)^3-x(x-y)^2 = x^3-3x^2 y+3xy^2+y^3-x(x^2-2xy+y^2 ) = x^3-3x^2 y+3xy^2+y^3-x^3+2x^2 y-xy^2 = -x^2 y+2xy^2+y^3\)
\(3m(k+3m)^2-(k+3m)^3 = 3m(k^2+6km+9m^2 )-(k^3+3k^2\cdot3m+3k\cdot(3m)^2+(3m)^3 ) = 3k^2 m+18km^2+27m^3- k^3-9k^2 m-27km^2-27m^3 = -6k^2 m-9km^2-k^3\)
Ответ: \(12a^2-16; x^3-27y^3; -x^2 y+2xy^2+y^3; -6k^2 m-9km^2-k^3.\)
Задача 5
Задано несколько выражений, значение которых необходимо вычислить с использованием формул сокращенного умножения и подстановки неизвестных:
\(a^3-b^3-3ab(a-b)\), если \(a = -7; b = -17\)
\(3ab(a+b)+a^3+b^3\), если \(a = -3; b = 13.\)
Решение:
Заменим неизвестные данными числами и воспользуемся правилами сокращенного умножения:
\(a^3-b^3-3ab(a-b) = a^3-b^3-3a^2 b+3ab^2 = a^3-3a^2 b+3ab^2-b^3 = (a-b)^3\)
Путем подстановки получим:
\((-7-(-17) )^3 = 10^3 = 1000\)
Аналогичным способом вычислим второе выражение:
\(3ab(a+b)+a^3+b^3 = 3a^2 b+3ab^2+a^3+b^3 = a^3+3a^2 b+3ab^2+b^3 =(a+b)^3\)
Подставим значения из условия задачи:
\((-3+13)^3 = 10^3 = 1000\)
Ответ: \(1000; 1000.\)
Применение корня третьей степени в реальной жизни
Корень третьей степени – это математическая операция, которая позволяет извлекать кубический корень числа. В реальной жизни корень третьей степени широко применяется в различных областях, включая науку, инженерию, экономику и финансы. Вот несколько примеров применения корня третьей степени:
-
Физика и наука
В физике корень третьей степени используется для решения задач, связанных с объемом, плотностью и массой тел. Например, в задачах о нахождении объема куба со сферическим вырезом требуется извлечь кубический корень из объема вырезанной фигуры, чтобы найти длину ребра куба.
-
Инженерия и архитектура
В инженерных и архитектурных расчетах часто требуется извлечь кубический корень из объема или площади. Например, при проектировании водопроводной трубы необходимо определить диаметр трубы, зная общий объем воды, скорость потока и давление.
-
Экономика и финансы
Корень третьей степени может быть использован для вычисления среднего показателя или индекса. Например, при анализе доходности инвестиций или финансовых показателей компании может потребоваться извлечь кубический корень из общей прибыли или общего объема продаж для определения среднего значения.
-
Медицина и биология
В медицине и биологии корень третьей степени может использоваться для анализа роста организмов или для расчетов объемов жидкости, необходимой для введения в организм. Например, при определении дозы лекарства для пациента требуется извлечь кубический корень из общего объема лекарственного препарата, чтобы определить количество, которое необходимо ввести.
Это лишь некоторые из примеров применения корня третьей степени. В реальной жизни корень третьей степени находит множество применений в различных областях, и его использование справедливо и интересно для людей, связанных с наукой, техникой, финансами и другими областями знания.
Онлайн извлекаем квадратный корень из ста двадцати пяти с примером.
-
Получим и вывеем корень квадратный из «ста двадцати пяти», нам нужен какой-то способ — этот способ называется калькулятор, если вы конечно не умеете получать корни квадратные в уме…!смайлы
Берем и…:
Открываем ссылку .
Используем число — 125, из которого хотим получить квадратный корень.
125
Кликаем знак квадратного корня.
125
Результат корня второй степени из «ста двадцати пяти»:
11.180339887499
-
После проделанных выше описанных действий вы получите квадратный корень из ста двадцати пяти :
11.180339887499
Видим, что извлеченный корень квадратный из числа «125» не является целым!
Количество знаков извлеченного корня из числа «125» после запятой:
12
Если возвести корень на е квадратный во вторую степень 11.180339887499², то получим 125.Результат: 11.180339887499 * 11.180339887499 = 125Округлим полученный корень из «ста двадцати пяти» до десятых!
Окргуленение до сотых — это означает, что чисел после запятой будет 1:11.1
Округлим полученный корень из «ста двадцати пяти» до сотых!
Окргуленение до сотых — это означает, что чисел после запятой будет 2:11.18 -
Один из вариантов записи корня квадратного — это использование стандартного знака корня.В начале выражения ставим знак корня «√», далее число 125 из которого будем извлекать корень. Далее равно и результат извлечения :
√ 125 = 11.180339887499
Используя css знак корня можно стилизовать(). Порядок записи компонентов выражения аналогична первому пункту!
125= 11.180339887499
На нижнем примере я могу поставить степень корня «2»
2125= 11.180339887499
-
Если полученное значение квадратного корня «125» со знаком минус умножить на друг друга, то получим первоначальное число из которого извлекли корень:
— 11.180339887499 * — 11.180339887499 = 125
-
Необходимо разложить число «125» числа(в том числе для того, чтобы вынести из под корня, либо еще говорят — упростить…)? Если их умножить последовательно друг на друга, то получим первоначальное число! Число «125» разложится автоматически на числа!Если чисел нет, то вы увидите соответствующее сообщение.Как и где проверить, что «125» не раскладывается ? Смотри здесь.
Как видим, что у нас под корнем есть повторяющиеся цифры…
5 * 5 * 5
Выше у нас была 1 пара повторяющихся цифр. При переносе 1 пары за пределы корня — оставляем одну цифру пары — 5 И здесь же мы видим, что у нас под корнем осталась 1 число = 5
5 5
-
Для извлечения квадратного корня из «125» онлайн сделаем несколько действий:
Вам нужен .
Набирали число — 125, из которого нужно получить корень второй степени(он же квадратный корень).
125
Нажимаете знак квадратного корня.
125
Получаем квадратный корень из числа «125»:
11.180339887499
Не стесняемся говорить спасибо!
Применение формул сокращенного умножения
Следует помнить, что все формулы, приведённые выше, используется также и справа налево.
Многие примеры в учебниках рассчитаны на то, что вы с помощью формул соберёте многочлен обратно.
- a2 + 2a + 1 = (a + 1)2
- (aс − 4b)(ac + 4b) = a2c2 − 16b2
В предыдущих уроках мы рассмотрели два способа разложения многочлена на множители:
вынесение общего множителя за скобки и
способ группировки.
В этом уроке мы рассмотрим еще один способ разложения многочлена на множители с применением формул сокращённого умножения.
Рекомендуем каждую формулу прописать не менее 12 раз. Для лучшего запоминания выпишите все формулы сокращённого умножения себе на небольшую шпаргалку.
Вспомним, как выглядит формула разности кубов.
Формула разности кубов не очень проста для запоминания, поэтому рекомендуем использовать специальный способ для её запоминания.
Важно понимать, что любая формула сокращённого умножения действует и в. (a − b)(a2 ab + b2) = a3 − b3. (a − b)(a2 ab + b2) = a3 − b3
(a − b)(a2 ab + b2) = a3 − b3
Как разложить на множители разность кубов
Рассмотрим пример. Необходимо разложить на множители разность кубов.
Обратим внимание, что «» — это «», значит, для формулы разности кубов вместо «» мы используем «». Используем формулу разности кубов. На месте «» у нас стоит «», а на месте «», как и в формуле, стоит «»
На месте «» у нас стоит «», а на месте «», как и в формуле, стоит «»
Используем формулу разности кубов. На месте «» у нас стоит «», а на месте «», как и в формуле, стоит «».
Применение разности кубов в обратную сторону
Рассмотрим другой пример. Требуется преобразовать произведение многочленов в разность кубов, используя формулу сокращенного умножения.
Обратите внимание, что произведение многочленов «(x − 1)(x2 + x + 1)» напоминает правую часть формулы разности кубов
«a3 − b3 = (a − b)(a2 ab + b2)», только вместо «» стоит «», а на месте «» стоит «».
Используем для «(x − 1)(x2 + x + 1)» формулу разности кубов в обратную сторону.
Рассмотрим пример сложнее. Требуется упростить произведение многочленов.
Если сравнить «(y2 − 1)(y4 + y2 + 1)» с правой частью формулы разности кубов «a3 − b3 = (a − b)(a2 ab + b2)», то можно понять, что на месте «» из первой скобки стоит «, а на месте «» стоит «».
Одночлены, которые стоят на месте «» или «» могут стоять в степени.
Например, в рассматриваемом примере на месте «» стоит «». Это означает, что именно «» мы рассматриваем как «».
Представим скобку «(y4 + y2 + 1)» таким образом, чтобы она соответствовала правой части формулы разности кубов.
Используем формулу разности кубов и решим пример до конца.
Вспомним, как выглядит формула суммы кубов.
a3 + b3 = (a + b)(a2 ab + b2)
Формула суммы кубов не очень проста для запоминания, поэтому рекомендуем использовать специальный способ для её запоминания.
(a + b)(a2 ab + b2) = a3 + b3
Как разложить на множители сумму кубов
Рассмотрим пример. Необходимо разложить на множители сумму кубов.
Обратим внимание, что «» — это «», значит, для формулы суммы кубов вместо «» мы используем «». Используем формулу суммы кубов. Только вместо «» у нас будет «», а вместо «» будет «»
Только вместо «» у нас будет «», а вместо «» будет «»
Используем формулу суммы кубов. Только вместо «» у нас будет «», а вместо «» будет «».
Применение суммы кубов в обратную сторону
Рассмотрим другой пример. Требуется преобразовать произведение многочленов в сумму кубов, используя формулу сокращенного умножения.
Обратите внимание, что произведение многочленов «(p + 1)(p2 − p + 1)» напоминает правую часть формулы суммы кубов
«a3 + b3 = (a + b)(a2 ab + b2)», только вместо «» стоит «», а на месте «» стоит «».
Используем для произведения многочленов «(p + 1)(p2 − p + 1)» формулу сумму кубов в обратную сторону.
В этом произведении многочленов не так очевидно, что будет являться в формуле «», а что «».
Если сравнить «(2a + 3)(4a2 − 6a + 9)» с формулы суммы кубов «a3 + b3 = (a + b)(a2 ab + b2), то можно понять, что в первой скобке «(2a + 3)» на месте «» стоит «», а на месте «» стоит «».
Теперь представим скобку «(4a2 − 6a + 9)» таким образом, чтобы она соответствовала правой части формулы суммы кубов.
Используем формулу суммы кубов и решим пример до конца.
В данной публикации мы рассмотрим одну из формул сокращенного умножения, а именно, разложение разности кубов на множители. Также разберем примеры решения задач для закрепления представленного материала.
Описание числа 125
В русском языке читается как сто двадцать пять.
В английском языке читается как one hundred twenty-five.
Число 125 это целое нечётное положительное натуральное число, расположенное между 124 и 126.
Состоит из 3 цифр, а их сумма равна 8.
Сумма всех собственных делителей числа 125 равна 31 (меньше чем оно само) – это означает, что такое число Недостаточное.
Квадрат числа 125 равен 15625, а его куб равен 1953125.
У числа 125 количество делителей равно 4, а значит оно Не Простое.
В двоичной системе число 125 записывается как 1111101, и так как количество единиц в такой записи равно 6 — четное, оно считается Злым.
Римская запись выглядит как CXXV.
Решение сложной задачи на упрощение и преобразование рациональных выражений
Сначала рассмотрим и раскроем первую скобку: в ней мы видим три отдельных дроби с разными знаменателями поэтому первое, что нам необходимо сделать — это привести все три дроби к общему знаменателю, а для этого каждый из них следует разложить на множители:
Перепишем всю нашу конструкцию следующим образом:
Это результат вычислений из первой скобки.
Разбираемся со второй скобкой:
Перепишем вторую скобку с учетом изменений:
Теперь запишем всю исходную конструкцию:
Ответ: $\frac{1}{x+2}$.
Нюансы решения
Как видите, ответ получился вполне вменяемый
Однако обратите внимание: очень часто при таких масштабных вычислениях, когда единственная переменная оказывается лишь в знаменателе, ученики забывают, что это знаменатель и он должен стоял внизу дроби и пишут это выражение в числитель — это грубейшая ошибка
Кроме того, хотел бы обратить ваше отдельное внимание на то, как оформляются такие задачи. В любых сложных вычислениях все шаги выполняются по действиям: сначала отдельно считаем первую скобку, потом отдельно вторую и лишь в конце мы объединяем все части и считаем результат. Таким образом мы страхуем себя от глупых ошибок, аккуратно записываем все выкладки и при этом нисколько не тратим лишнего времени, как это может показаться на первый взгляд
Таким образом мы страхуем себя от глупых ошибок, аккуратно записываем все выкладки и при этом нисколько не тратим лишнего времени, как это может показаться на первый взгляд.
До новых встреч!
- Как выполнять сокращение рациональных дробей без ошибок? Простой алгоритм на примере пяти различных задач.
- Дробно-рациональные выражения
- Тест к уроку «Десятичные дроби» (2 вариант)
- Периодические десятичные дроби
- Быстрое возведение чисел в квадрат без калькулятора
- ЕГЭ 2022, задание 6. Касательная и уравнение с параметром
Дополнительные формулы сокращенного умножения
Есть три основные дополнительные ФСУ – это бином Ньютона, формула возведения в квадрат суммы трех, четырех и более слагаемых, а также формула разности n-ых степеней двух слагаемых. Коротко о каждой из них.
Бином Ньютона
Бином Ньютона – это формула для разложения на отдельные слагаемые целой неотрицательной степени суммы двух переменных. Выглядит она следующим образом:
Ck в степени n – это биноминальные коэффициенты, стоящие в строке под номером n в треугольнике Паскаля. Вычисляются эти коэффициенты по формуле:
Иначе говоря, ФСУ для квадрата и куба разности и суммы являются частными случаями формулы бинома Ньютона при n=2 и n=3 соответственно.
Однако может быть так, что слагаемых в сумме, которую нужно возвести в степень, больше, чем два. В таком случае подойдет формула квадрата суммы трех, четырех и более слагаемых.
Формула возведения в квадрат суммы трех, четырех и более слагаемых
Как и было сказано, формула возведения в квадрат суммы трех, четырех и более слагаемых нужна, когда слагаемых в сумме, которую нужно возвести в степень, больше, чем два.
Выглядит она так:
Читать и запоминать эту формулу нужно следующим образом: квадрат суммы n слагаемых равен сумме квадратов всех слагаемых и удвоенных произведений всех возможных пар этих слагаемых.
Формула разности n-ых степеней двух слагаемых
И последняя формула – это формула разности n-ых степеней двух слагаемых, выглядящая вот так:
Как правило, данную формулу разделяют на две отдельные: для четных и нечетных степеней.
Формула для четных показателей 2m:
Формула для нечетных показателей 2m + 1:
Несложно догадаться, что ФСУ разности квадратов и кубов являются частными случаями данной формулы при n=2 и n=3 соответственно. А для разности кубов b заменяется на –b.
Рассмотренные нами ФСУ и дополнительные ФСУ обязательно помогут вам быстрее справляться с математическими задачами и занимать свой мозг полезной деятельностью.
Вопросы и ответы
И напоследок несколько ответов на часто задаваемые вопросы.
Для чего нужны формулы сокращенного умножения?
Формулы сокращенного умножения нужны, чтобы упростить и ускорить вычисления, а также для улучшения наглядности и понимания математических выражений.
В настоящее время ФСУ широко используются в образовании и науке, а также в практической жизни. Они применяются в различных областях, таких как математика, физика, химия и инженерия, плюс могут применяться к решению различных задач, например, в области финансов, менеджмента и исследования данных.
Как появились формулы сокращенного умножения?
Формулы сокращенного умножения появились в результате исследований математиков в области алгебры и арифметики и основаны на использовании их свойств, таких как коммутативность, ассоциативность и дистрибутивность.
Если обратиться к истории, можно узнать, что такими формулами пользовались еще в Древнем Вавилоне и Древнем Египте. Первым же, кто доказал математическую закономерность квадрата суммы, был древнегреческий ученый Евклид, живший в III веке до н.э. А на общепринятом языке математические формулы были обоснованы Исааком Ньютоном.
Сколько всего формул сокращенного умножения?
Не существует точного количества формул сокращенного умножения, т.к. их можно создавать неограниченное количество. Но в основном изучают и используют семь основных формул. Это квадрат суммы, квадрат разности, разность квадратов, сумма кубов, разность кубов, куб суммы и куб разности. Также распространено применения трех дополнительных ФСУ, таких как бином Ньютона, формула возведения в квадрат суммы трех, четырех и более слагаемых и формула разности n-ых степеней двух слагаемых.
Почему формулы сокращенного умножения изучают на алгебре в 7 классе?
Формулы сокращенного умножения изучаются на алгебре в 7 классе, потому что именно на этом этапе школьники знакомятся с понятием многочлена и действиям с ним. Кроме того, ФСУ являются важным и основным инструментом для решения математических задач и упрощения вычислений.
Формулы помогают ученикам развить навыки в решении простых задач, а также дают им навыки для решения более сложных задач в будущем, что в перспективе способно помочь молодым людям в их дальнейшем обучении и карьере.
Можно ли не использовать формулы сокращенного умножения?
Конечно, при решении математических задач можно и не использовать формулы сокращенного умножения. Однако без них процесс решения может оказаться очень трудоемким и долгим. ФСУ же заметно упрощают его и помогают справляться с заданиями намного быстрее.
Помимо прочего, ФСУ входят в обязательную школьную программу, вследствие чего преподаватели часто требуют от учеников, во-первых, знать эти формулы наизусть, а во-вторых, решать задания именно с их помощью.