Расчет параметров сигнала

3.3.1. Гармоническая модуляция с малым индексом 

А.
Вызовите сигнал (Рис. 15))из файлаFMB
0″5.
dat
. Зарисуйте его спектр. Сравните спектр
с теоретическим (см. рис.10,а)

Обратите
внимание на его отличие от спектра АМ

Б.
По спектру определите несущую
частотуf
o
,
частоту модуляцииF
,
начальные фазы
о
и
. Измерьте
амплитуды составляющих спектра, по ним
найдите индекс

Рис. 15. модуляции 
.
Определите ширину спектра.

3.3.2.
Гармоническая ЧМ с индексом




>1

А.
Вызовите файлFMB
«5.
dat
,
где записан сигнал с индексом=5
(Рис. 16). Зарисуйте сигнал и его спектр.

Б.
Определите частоту модуляцииF
,
число боковых составляющих спектра и
его ширину. Найдите девиацию частоты
f
,
пользуясь

Рис. 16.
формулой 


f
F
. Сравните девиацию
с измеренной шириной спектра.

В.
Измерьте относительные амплитуды
С(f)/C max первых трех-четырех составляющих спектра
и сравните их с теоретическими значениями,
определяемыми функциями Бесселя.
Обратите внимание на фазы спектральных
составляющих. Несущая частота радиоимпульса (частота заполнения):

Несущая частота радиоимпульса (частота заполнения):

, ,

Определим ширину спектра Δf:

f max
– определена по графику амплитудного спектра одиночного прямоугольного видеоимпульса (рис.5), по 10% уровню от |S(f)| max , т.е. по уровню 0.1|S(f)| max .

К узкополосным сигналам (радиосигналам) относятся сигналы, спектры которых сосредоточены в относительно узкой по сравнению со средней частотой полосе. Узкополосный сигнал описывается выражением:

ω 0 – частота несущего колебания

V(t), Φ(t) – амплитуда и фаза сигнала

В частном случае, когда , а V(t)=s(t) – непериодический видеосигнал, (5) описывает радиоимпульс:

Таким образом, аналитическое выражение
для полученного радиоимпульса:

где S(t) –
заданный сигнал (см.. п.1)

Временная диаграмма одиночного радиоимпульса представлена на рис.8.

Спектральная плотность радиоимпульса определяется спектральной плотностью его огибающей:

Спектр радиоимпульса U(ω) получается путём переноса спектра его огибающей S(ω) из окрестности нулевой частоты в окрестность несущей частоты ±ω 0 (с коэффициентом 1/2):

S(2π(f–f 0)) и S(2π(f+f 0))
– спектральные плотности видеоимпульса, составляющих заданный сигнал, определённые в п.1.

Амплитудный спектр радиоимпульса:

График при f0 относительно оси ординат.

График амплитудного спектра одиночного радиоимпульса представлен на рис. 9.

4. Спектральный анализ периодической последовательности радиоимпульсов.

Спектральный анализ сигнала в виде периодической последовательности радиоимпульсов основан на его представлении в виде ряда Фурье:

коэффициенты которого связаны с коэффициентами ряда Фурье периодического видеосигнала (3) соотношением:

V n – амплитудный спектр периодической последовательности радиоимпульсов.

Аналитическое выражение для последовательности радиоимпульсов:

U(t) – одиночный радиоимпульс

Временная диаграмма периодической последовательности радиоимпульсов представлена на рис.10.

,

Определим амплитудный спектр периодической последовательности радиоимпульсов по:

График амплитудного спектра периодической последовательности радиоимпульсов V n представлен на рис.11

5. Корреляционный анализ непериодического сигнала

Автокорреляционная функция определяется следующим интегралом:

, (7)

и характеризует взаимосвязь между значениями сигнала в различные моменты времени.

Для действительного сигнала корреляционная функция является действительной чётной функцией

Максимального значения, равного энергии сигнала корреляционная функция достигает при τ=0:

Непосредственное интегрирование в формуле (7) даёт выражение для правой ветви автокорреляционной функции (рис.)

Замена в полученном выражении τ =| τ | позволяет перейти к аналитическому описанию автокорреляционной функции, как для положительных значений τ>0, так и для отрицательных τ

По свойствам автокорреляционной функции

S(t±t 0), t 0 >0 => R(τ)=R(τ)

Корреляционная функция пачки импульсов

, где S(t) – 1-й импульс в пачке,

при условии, что интервал следования в пачке t 1 больше или равен τ 0 – длительность 1-го импульса в пачке S 0 (t), взаимосвязана с корреляционной функцией R 0 (τ) соотношением

, (8)

Воспользуемся выражением (8):

N=2 – количество импульсов

График АКФ представлен на рис.12

6.Спектральный анализ линейной цепи

рис.13. Заданная схема цепи рис.14. Эквивалентная схема замещения

КЧХ определяется по следующей формуле:

Согласно эквивалентной схеме замещения:

;

По формуле делителя напряжения :

– постоянная RC цепи .

Определим АЧХ:

1.1. Прямоугольный импульс и его спектр.

Тем или иным способом сформировать прямоугольный видеоимпульс и, используя встроенную функцию БПФ (FFT), построить его амплитудный спектр.

Рис.1. Амплитудный спектр прямоугольного импульса.

Длительность сигнала выбрать из соображений наглядности представления спектра.

1.1.1. Определить уровни 2-ого, 3-его, 4-ого лепестков спектра по отношению к главному (отношение уровня лепестков спектра к постоянной составляющей).

1.1.2. Определить изменение амплитудного спектра при изменении длительности импульса.

1.1.3. Определить влияние смещения начала импульса на его спектр.

1.1.4. Определить спектр сигнала типа «меандр» (длительность импульса = T/2).

Здесь и далее в качестве отчета по выполняемым заданиям представить файлы MathCAD, содержащие необходимые пояснения по результатам выполняемых заданий.

Рекомендуется каждое задание оформлять отдельным файлом.

Для иллюстрации различных операций, требующих сравнения результатов (например, как по данному заданию для определения влияния на вид спектра длительности импульса) следует в файле одновременно представить несколько вариантов.

1.Суммирование функций и построение графика суммы.

Рассмотрим
разложение в усеченный ряд Фурье
периодической последовательности
импульсов со скважностью s
и числом слагаемых N:

Для построения графика суммы воспользуемся
компьютерной программой MathCAD:

2.Амплитудный
спектр воздействия.

3.Фазный спектр
воздействия.

. Рассчитаем
амплитудный и фазный спектры реакции:

В пункте 1.3 были
получены амплитудный и фазовый спектры
сигнала воздействия. Определим, какова
будет реакция исследуемого ARC
– фильтра, если на его вход воздействовать
периодическим сигналом (см. п.п. 1.3).

1. Амплитудный
спектр реакции:

Рис.
6 График амплитудного спектра реакции.

Из графика видно,
что при k=2
наблюдается максимальная пропускная
способность фильтра. Это обусловлено
тем, что   к
где  
частота
основной гармоники.

2.
Фазный спектр реакции:

Рис. 8 Фазный спектр
реакции.

1.5. Построим
график функции времени реакции цепи на
заданное воздействие:

По
амплитудному и фазному спектрам (см.
п.п. 1.3) можно построить соответствующую
им функцию времени по формулам (14).

Для построения графика функции времени
воспользуемся компьютерной программой
MathCAD:

Рис.9.
График функции времени.

На Рис. 9 представлены
графики сигналов воздействия ()
и реакции ()
ARC
– фильтра.

1.6. Рассчитаем и
построим графики амплитудного и фазного
спектров воздействия и реакции, а также
временные функции воздействия и реакции
с периодом в два раза больше.

В п.п. 1.3. – 1.4 мы
исследовали реакцию фильтра при
воздействие на него периодическим
сигналом, частотой
,
где-
резонансная частота данногоARC
— фильтра. По условию данного пункта
примем частоту сигнала воздействия
.

График
суммы:

Рис. 10. График
суммы.

Амплитудный
спектр воздействия.

Рис. 4 Амплитудный
спектр воздействия.

Амплитудный спектр
реакции имеет следующий вид:

Рис. 11Амплитудный
спектр реакции.

Фазный спектр
воздействия.

Рис. 5 Фазный спектр
воздействия.

Фазный спектр
реакции имеет следующий вид:

Рис. 12 Фазный спектр
реакции

Временные функции:

Рис.13 График
функции времени.

1.6. Спектр амплитудно-модулированных сигналов.

Смоделировать амплитудную модуляцию несущей частоты одной гармоникой низкой частоты.

Аналитическое выражение АМ-сигнала:

Модулирующее колебание (с амплитудой = 1):

Um – амплитуда несущей частоты колебания (без модуляция) – принять = 1;

m – коэффициент модуляции;

F – частота модуляции.

Построить спектр АМ-сигнала с помощью FFT.

Напомним, что для получения «правильного» результата расчета спектра по FFT как f0, так и F должны быть кратны 1/T (целое число периодов на интервале моделирования), т. е. присвоить частотам значения:

где n и N – число периодов колебаний частоты f0 и F на интервале T.

Рис.6. АМ сигнал и его спектр.

Определить соотношение между гармоникой несущей и гармониками боковых частот при различных коэффициентах амплитудной модуляции m = 1; 0.7; 0.5.

Выяснить форму АМ-сигнала при перемодуляции (m > 1).

Расчет математической модели сигнала

Одиночный прямоугольный импульс, в середине которого фаза скачком меняется на 180? можно описать выражением:

График одиночного радиоимпульса представлен на рис.1.

Рис.1. График одиночного радиоимпульса

На рис.2 рассмотрим подробнее середину импульса, где фаза меняется на 180?

Рис.2. Подробный график одиночного радиоимпульса.

Огибающая одного радиоимпульса представлена на рис.3.

Рис.3 Огибающая одного радиоимпульса

Так как все импульсы в пачке имеют одинаковую форму, то при построении когерентной пачки можно пользоваться формулой:

где T_n — период повторения импульсов, N — число импульсов в пачке, U1(t) — огибающая первого импульса

На рис.4 представлен вид когерентной прямоугольной пачки радиоимпульсов.

Рис.4 Когерентная пачка радиоимпульсов

2.2. Спектральные характеристики непериодических сигналов

Задача 2.2.1. Построить спектры амплитуд и фаз сигнала U(t) на выходе генератора линейно изменяющегося напряжения (ГЛИН) при исходных данных: скорость изменения V_m:=4 volt∙Sec -1 и длительность τ:=2 Sec.

Аналитическое выражение сигнала

Рисунок 15 – Сигнал U(t)

Задача 2.2.2. Найти спектр косинусоидальной функции y(t), заданной на интервале -τ/2 ≤t≤ τ/2 показанной на рисунке 16, при исходных данных: амплитуда U_m:= 0.5, длительность τ:= 0.2, при N:= 8 частота f:= N/τ или ω:= 2 ∙ π ∙ f, возможная периодичность повторения T:= 2 ∙ τ.

Аналитическое выражение функции

Рисунок 16 – Сигнал y(t)

Ответ.Спектр функции y(t)

Задача 2.2.3. Найти амплитудный спектр одиночного видеоимпульса S(t) синусоидальной формы при исходных данных: амплитуда U_m:= 2 volt; длительность τ:= 10 -1 sec; при N:= 2 частота f:= 1/ (N∙τ) (угловая частота ω:= 2 ∙ π ∙ f) и период T:= N∙τ.

Аналитическое выражение сигнала:

Рисунок 17 – Видеоимпульс S(t)

Ответ. Амплитудный спектр

График амплитудного спектра видеоимпульса S(t) синусоидальной формы приведен на рисунке 18 при изменении угловой частоты ω в долях несущей частоты ω:= 2π/Т в случае периодического продолжения импульсного сигнала с периодом T, а именно при

Рисунок 18 – График амплитудного спектра видеоимпульса S(t)

Задача 2.2.4. Решить задачу 2.2.3 с использованием теоремы о временном сдвиге.

Задача 2.2.5. Найти спектры амплитуд и фаз экспоненциального видеоимпульса E(t), t≥0 sec с амплитудой U_m:= 1volt и коэффициентом затухания α:=0.1 sec -1 .

Рисунок 19 – Видеоимпульс E(t)

Математическая модель сигнала

Задача 2.2.6. Найти амплитудный спектр экспоненциального радиоимпульса E1(t), t≥0 sec (рисунок 20) с параметрами: амплитуда U_m:= 5volt; коэффициент затухания α:= 400 sec -1 ; частота f:= 1000 Hz (ω:= 2πf).

Рисунок 20 – Экспоненциальный радиоимпульс E1(t)

Математическая модель сигнала

Ответ.Амплитудный спектр экспоненциального радиоимпульса

График амплитудного спектра приведен на рисунке 21 при

и изменении угловой частоты

Рисунок 21 – График амплитудного спектра

Задача 2.2.7. Найти в рамках Mathcad спектры некоторых специальных функций:

дельта-функция δ (t) или функция Дирака

единичный скачок d(t) или функция Хевисайда

комплексная синусоида (пусть ω:= 5)

постоянная функция p(t) := A

ПРИМЕЧАНИЕ. Все эти функции абсолютно не интегрируемы, но путем предельного перехода для них можно найти интегральное преобразование Фурье.

ПРИМЕЧАНИЕ. Если интеграл непосредственно не берется, то следует использовать в Mathcad команды прямого преобразования Фурье «Fourier Transform» и обратного преобразования Фурье «Inverse Fourier Transform» меню Symbolic и Transforms.

Задача 2.2.8. Амплитудный спектр сигнала S(t) имеет параметры:

а) плотность амплитуд H:= 0.5 volt∙sec;

б) частоты среза спектра ω_c1:= 4 sec -1 и ω_c2:= 3 ω_c1.

Амплитудный спектр описывается выражением

Спектр фаз равен нулю. Требуется найти вид сигнала S(t). График частотной характеристики (амплитудного спектра) приведен на рисунке 22 при W:=18 sec -1 и ω:= -W, -W + W/200 .. W.

Рисунок 22 – График частотной характеристики

причем при t:=0 имеем

График сигнала при T:= 5sec и t:= 1.0 ∙ T, — 1.0 ∙ T + T/400 .. 1.0 ∙ T приведен на рисунке 23.

Автоматизация инженерной деятельности

Тема 1. Формирование элементарных сигналов и вычисление их спектров. 2

1.1. Прямоугольный импульс и его спектр. 2

1.2. Прямоугольный радиоимпульс и его спектр. 2

1.3. Прямоугольный видеоимпульс с экспоненциальными фронтами и его спектр. 3

1.4. Сравнение спектров прямоугольного и колоколообразного (гауссового) импульсов. 3

1.5. Особенности применения БПФ (FFT) для гармонических сигналов. 4

1.6. Спектр амплитудно-модулированных сигналов. 4

1.7. Спектр частотно-модулированного сигнала. 5

По текстовым файлам «Формирование сигналов в среде MathCAD» и «Спектральный анализ сигналов» ознакомиться со способами формирования сигналов и особенностях вычисления их спектров встроенными функциями.

Ознакомиться также с файлом MathCAD «Формирование элементарных сигналов».

9.3. Распределение энергии в спектре непериодического сигнала

Определим энергию сигнала f(t) по его спектральной характеристике F(jw). Предположим, что f(t) представляет собой напряжение или ток, протекающий в единичном сопротивлении R = 1 Ом. Тогда согласно (1.4) энергия выделяемая f(t) будет равна

Представим подынтегральное выражение (9.35) в виде произведения и применим к f(t) обратное преобразование Фурье (9.7):

Учитывая независимость переменных t и w, перепишем последнюю формулу в виде

Внутренний интеграл представляет собой сопряженный спектр F(—jw). Если учесть, что , то получим следующее равенство Парсеваля (теорема Рэлея):

Из уравнения (9.36) следует, что величина |F(jw)|2 представляет собой энергию сигнала, приходящуюся на 1 с–1 текущей частоты w, поэтому квадрат модуля спектра |F(jw)|2 называют спектральной плотностью энергии сигнала. Вид модуля |F(jw)| позволяет судить о распределении энергии в спектре непериодического сигнала. Равенство Парсеваля широко используется в теории цепей и сигналов при выборе полосы пропускания канала связи, обеспечивающей наилучшее использование энергии сигнала.

Следует отметить, что в отличие от формулы (5.23), где рассматривалась средняя за период Т мощность периодического несинусоидального сигнала, для непериодического сигнала такое усреднение невозможно ( ). Общим для обеих случаев является то, что мощность и энергия сигналов не зависят от фаз спектральных составляющих.

9.2. Основные теоремы спектрального анализа

Как было установлено выше, между сигналом и его спектром существует однозначная связь, определяемая прямым преобразованием Фурье

Поскольку в процессе передачи сигнала он подвергается различным преобразованиям, очень важно установить как при этом изменяется спектр сигнала. Это имеет большое значение с точки зрения выбора оптимальных методов передачи, приема, требований к параметрам канала связи

Рассмотрим основные теоремы о спектрах, имеющих практическое применение в электросвязи. Учитывая связь между преобразованием Фурье и Лапласа и имея в виду доказательства основных теорем, остановимся только на физической интерпретации основных теорем спектрального анализа.

Спектр суммы сигналов (теорема линейности) равен сумме спектров этих сигналов. Это свойство является следствием линейности преобразования Фурье. В более общем виде оно может быть записано следующим образом:

где a_k — коэффициенты разложения; — знак соответствия между сигналом и его спектром, определяемого парой преобразований Фурье.

Сдвиг сигнала во времени f(t—t) соответствует умножению его спектра на :

Из (9.28) следует важный вывод о том, что при сдвиге сигнала во времени его амплитудный спектр не изменяется, а фазовый изменяется пропорционально wt. Эта теорема имеет большое значение, так как в процессе обработки сигналов часто возникает необходимость осуществлять задержку сигнала.

Изменение масштаба независимого переменного (сжатие сигнала) описывается выражением

Из (9.29) следует, что сжатие сигнала во времени (а > 1) приводит к расширению спектра сигнала и напротив — растяжение сигнала (а < 1) — к сужению спектра.

Перемножение двух сигналов (теорема свертки). Спектр произведения двух функций f₁(t) и f₂(t) соответствует свертке их спектров F₁(jw) и F₂(jw):

Важное значение имеет обратная теорема о произведении спектров сигналов:

Свертка функций широко использовалась ранее во временных методах анализа электрических цепей.

Дифференцирование и интегрирование сигнала. При дифференцировании сигнала его спектр умножается на оператор jw:

а при интегрировании делится на jw:

Доказательство (9.32)—(9.33) следует непосредственно из прямого и обратного преобразований Фурье. Следует подчеркнуть, что (9.33) справедливо для сигналов, удовлетворяющих условию F(0) = 0.

Смещение спектра сигнала на частоту соответствует умножению сигнала на оператор :

Теорема смещения (9.34) позволяет определить спектр модулированного сигнала и имеет большое значение в теории электрической связи.

*3.2.8. Формирование и исследование ам-сигналов

Программа SASWinпозволяет
формировать сигналы с различными и
достаточно сложными видами модуляции.
Вам предлагается, используя приобретенный
опыт работы с программой, сформировать
АМ-сигнал, параметры и форму огибающей
которого установите самостоятельно.

А.
В опцииPlot, пользуясь
мышкой или курсором, создайте желаемый
вид сигнала модуляции. Рекомендуется
не увлекаться слишком сложной его
формой. Зарисуйте спектр вашего сигнала.

Б.
Занесите сигнал в память, нажав
кнопку вертикального меню R
AM>
и присвоив сигналу какое-нибудь имя
или номер.

В.
Войдите в опциюInstalи
укажите тип сигнал .
В
открывшемся меню видов модуляции
выберите Обычный вариант Амплитудной
модуляции и нажмите кнопку .

Г.
На
запрос «Закон изменения амплитуды»
укажите .

Д.
Появится вертикальное меню
сигналов, находящихся в памятиRAM.

Выберите ваш сигнал и нажмите кнопку
.

Например: Несущая частота, кГц =
100,

Фаза несущей
= 0,

Границы частотного окна fminиfmaxдля вывода спектра

Нажать кнопку

Сформированный сигнал отображается
в левом окне, а его спектр – в правом.

Ж.
Зарисуйте сформированный сигнал
и его спектр. Сравните их с формой и
спектром сигнала модуляции.

З.
Сигнал можно записать в памятьRAMили в файл и далее
использовать его по надобности.

И.
При желании повторите исследования
с другими сигналами модуляции.

Спектральная диаграмма периодического сигнала.

Так принято называть
графическое изображение коэффициентов
ряда Фурье для конкретного сигнала.
Различают амплитудные и фазовые
спектральные диаграммы (рис. 2.1).

Здесь по горизонтальной
оси в некотором масштабе отложены
частоты гармоник, а по вертикальной оси
представлены их амплитуды и начальные
фазы.

Рис. 2.1. Спектральные
диаграммы некоторого периодического
сигнала: а — амплитудная; б — фазовая

Особо интересуются
амплитудной диаграммой, которая позволяет
судить о процентном содержании тех или
иных гармоник в спектре периодического
сигнала.

Изучим несколько
конкретных примеров.

Пример
2.1. Ряд Фурье периодической последовательности
прямоугольных видеоимпульсов с
известными параметрами ,
четной относительно точки t = 0.

В
радиотехнике отношение называют
скважностью последовательности. По
формулам (2.6) находим

Окончательную
формулу ряда Фурье удобно записать в
виде

На рис. 2.2 представлены
амплитудные диаграммы рассматриваемой
последовательности в двух крайних
случаях.

Важно
отметить, что последовательность
коротких импульсов, следующих друг за
другом достаточно редко ,
обладает богатым спектральным составом

Рис. 2.2

Амплитудный
спектр периодической последовательности
ррямоугольных видеоимпульсов: а — при
большой скважности; б — при малой
скважности

Пример
2.2. Ряд Фурье периодической последовательности
импульсов, образованной гармоническим
сигналом вида ограниченным
на уровне (предполагается,
что ).

Введем
специальный параметр — угол отсечки ,
определяемый из соотношения откуда

В
соотаетствии с этим величина равна
длительности одного импульса, выраженной
в угловой мере:

Аналитическая
запись импульса, порождающего
рассматриваемую последовательность,
имеет вид

Постоянная
составляющая последовательности

Амплитудный
коэффициент первой гармоники

Аналогично
вычисляют амплитуды —
гармонических составляющих при

Полученные
результаты обычно записывают так:

где так
называемые функции Берга:

Графики некоторых
функций Берга приведены на рис. 2.3.

Рис. 2.3. Графики
нескольких первых функций Берга

Спектральная плотность сигналов.
Прямое и обратное преобразования Фурье.

9.8. Вопросы и задания для самопроверки

1. Какие существуют методы определения сигнала по спектру?

2. Каким образом можно определить постоянную составляющую единичной функции, если известна спектральная плотность единичной функции?

3. Чем отличаются сигналы с дискретным и сплошным спектрами?

4. В каких случаях используется теорема свертки?

5. Каким образом и зачем определяют полюсы спектральной функции?

6. Что понимают под спектральной плотностью энергии сигнала?

7. Зависит ли спектральная плотность энергии сигнала от формы (вида) сигнала и фазы спектральных составляющих?

8. Как можно получить уравнение единичной функции в интегральной форме , если известно обобщенное преобразование Фурье единичной функции?

9. Как связаны между собой импульсная, переходная и комплексная передаточная функции пассивной электрической цепи?

10. В чем сущность частотного анализа линейных электрических цепей при негармонических воздействиях?

11. Можно ли создать электрическую цепь для безыскаженной передачи сигнала во всем частотном диапазоне?

12. Как связаны между собой комплексная амплитуда и комплексная спектральная плотность?

13. В каких случаях при анализе сигналов применяются интеграл Фурье и ряд Фурье?

14. Каким условиям должен удовлетворять сигнал, подвергаемый преобразованию Фурье?

15. Пояснить физический смысл основных теорем спектрального анализа?

16. Связь между преобразованиями Фурье и Лапласа.

Гармонические и негармонические сигналы.

И для начала давайте чуть подробнее разберемся, как же классифицируются сигналы. В первую очередь нас интересуют гармонические сигналы, форма которых повторяется через определенный интервал времени , называемый периодом. Периодические
сигналы в свою очередь делятся на два больших класса – гармонические и негармонические. Гармонический сигнал – это сигнал, который можно описать следующей функцией:

Здесь – амплитуда сигнала, – циклическая частота, а – начальная фаза. Вы спросите – а как же синус? Разве синусоидальный сигнал не является гармоническим? Конечно, является, дело в том, что , то есть сигналы отличаются начальной фазой, соответственно, синусоидальный сигнал не противоречит определению, которое мы дали для гармонических колебаний

Вторым подклассом периодических сигналов являются негармонические колебания
. Вот пример негармонического сигнала:

Как видите, несмотря на “нестандартную” форму, сигнал остается периодическим, то есть его форма повторяется через интервал времени, равный периоду.

Для работы с такими сигналами и их исследования существует определенная методика, которая заключается в разложении сигнала в ряд Фурье
. Суть методики состоит в том, что негармонический периодический сигнал (при выполнении определенных условий) можно представить в виде суммы гармонических колебаний с определенными амплитудами, частотами и начальными фазами. Важным нюансом является то, что все гармонические колебания, которые участвуют в суммировании, должны иметь частоты, кратные частоте исходного негармонического сигнала. Возможно это пока не совсем понятно, так что давайте рассмотрим практический пример и разберемся чуть подробнее Для примера используем сигнал, который изображен на рисунке чуть выше. Его можно представить следующим образом:

Давайте изобразим все эти сигналы на одном графике:

Функции , называют гармониками
сигнала, а ту из них, период которой равен периоду негармонического сигнала, называют первой или основной гармоникой
. В данном случае первой гармоникой является функция (ее частота равна частоте исследуемого негармонического сигнала, соответственно, равны и их периоды). А функция представляет из себя ни что иное как вторую гармонику сигнала (ее частота в два раза больше). В общем случае, негармонический сигнал раскладывается на бесконечное число гармоник:

В этой формуле – амплитуда, а – начальная фаза k-ой гармоники. Как мы уже упомянули чуть ранее, частоты всех гармоник кратны частоте первой гармоники, собственно, это мы и видим в этой формуле – это нулевая гармоника, ее частота равна 0, она равна среднему значению функции за период. Почему среднему? Смотрите – среднее значения функции синуса за период равно 0, а значит при усреднении в этой формуле все слагаемые, кроме будут равны 0.

Совокупность всех гармонических составляющих негармонического сигнала называют спектром
этого сигнала. Различают фазовый и амплитудный спектр сигнала:

• фазовый спектр сигнала – совокупность начальных фаз всех гармоник
• амплитудный спектр сигнала – амплитуды всех гармоник, из которых складывается негармонический сигнал

Давайте рассмотрим амплитудный спектр поподробнее. Для визуального изображения спектра используют диаграммы, представляющие из себя набор вертикальных линий определенной длины (длина зависит от амплитуды сигналов). На горизонтальной оси диаграммы откладываются частоты гармоник:

По горизонтальной оси могут откладываться как частоты в Гц, так и просто номера гармоник, как в данном случае. А по вертикальной оси – амплитуды гармоник, тут все понятно:). Давайте построим амплитудный спектр сигнала для негармонического колебания, которое мы рассматривали в качестве примера в самом начале статьи. Напоминаю, что его разложение в ряд Фурье выглядит следующим образом:

У нас есть две гармоники, амплитуды которых равны, соответственно, 2 и 1.5. Поэтому на диаграмме две линии, длины которых соответствуют амплитудам гармонических колебаний.

Фазовый спектр сигнала строится аналогично, за той лишь разницей, что используются начальные фазы гармоник, а не амплитуды.

Итак, с построением и анализом амплитудного спектра сигнала мы разобрались, давайте перейдем к следующей теме сегодняшней статьи – к понятию амплитудно-частотной характеристики.

Расчет АЧС и ФЧС периодических видеоимпульсов

Для расчета амплитудно-частотного и фазочастотного спектров периодической последовательности видеоимпульсов (рис. 2.1) воспользуемся формулами для нахождения коэффициентов а/2 и а_n (2.1, 2.2).

Рисунок 2.1 — Периодическая последовательность видеоимпульсов.

Так как в задании не указан момент начала отсчета времени, примем для простоты — пик видеоимпульса находится в точке t = 0. Тогда сигнал становиться четным, это означает что коэффициенты b_n = 0 .

(2.1)

(2.2)

Аналитическое выражение сигнала имеет вид:

(2.3)

Подставляя аналитическое выражение сигнала (2.3) в формулы (2.1), (2.2) получаем:

, (2.4)

Таким образом, аналитическое выражение периодического видеосигнала имеет вид:

(2.5)

На рис. 2.2 приведена зависимость первых 30 коэффициентов Аn от частоты.

Рисунок 2.2 — Зависимость коэффициентов Аn от частоты (n — множитель частоты первой гармоники)

Для анализа прохождения сигнала через избирательную цепь перейдем к коэффициентам С_n. Как известно из переход от коэффициентов А_n к С_n происходит по следующей формуле:

Фазовый спектр на положительных частотах сохраняется.

Для проверки вычислим коэффициенты С_n по формуле :

(2.7)

Значения коэффициентов С_n для гармоник от -5 до 5 приведены в таблице (2.1), а графики модулей и аргументов приведены на рис. 2.3 и 2.4 соответственно. Как видно из вычислений и графиков фазы спектральных составляющих на всех частотах равны нулю.

Таблица 2.1 — Значения модулей и аргументов коэффициентов Сn.

n	-5	-4	-3	-2	-1	1	2	3	4	5
|Cn|	0.0327	0.0341	0.0352	0.0359	0.0364	0.1463	0.0364	0.0359	0.0352	0.0341	0.0327
иn

Рисунок 2.3 — Модули коэффициентов Сn.

Рисунок 2.4 — Аргументы коэффициентов Сn.

9.5. Частотный анализ линейных электрических цепей при непериодических воздействиях

Представление непериодических сигналов в форме интеграла Фурье (9.6) и (9.7) позволяет применить к бесконечно малым гармоникам, составляющим его спектр. В частности, если цепь находится при нулевых начальных условиях (т. е. до начала входного воздействия в реактивных элементах цепи не была накоплена энергия электрического и магнитного полей), то по аналогии с (3.46), (3.48) и (3.49) можно записать законы Ома и Кирхгофа для спектров:

где I(jw), U(jw) — спектры токов и напряжений ветвей соответственно; ₁Z(jw) и Y(jw) имеют смысл комплексных сопротивлений и проводимостей ветвей. Законы Ома и Кирхгофа для спектров позволяют распространить рассмотренные ранее частотные методы анализа цепей при гармонических и периодических несинусоидальных воздействиях на непериодические сигналы.

В случае, если необходимо найти выходную реакцию цепи в виде четырехполюсника при воздействии на входе непериодического сигнала, используют комплексную передаточную функцию цепи. При этом спектр выходной реакции согласно (4.1) и (4.2)

После определения спектра F₂(jw) выходная реакция f₂(t) может быть найдена с помощью обратного преобразования Фурье (9.7) или по таблицам.

Пример. Рассчитать спектральную плотность выходного сигнала в цепи (рис. 9.12), если на вход действует единичный импульс (рис. 9.7) с амплитудой U₁ = 4 В.

Для заданного входного сигнала (3.15) преобразование Фурье дает выражение

,

которое после преобразований принимает более удобную форму (см. (9.46)):

.

Комплексная спектральная плотность выходного сигнала находится по формуле (9.51)

,

где – комплексная передаточная функция цепи по напряжению. Функция находится как отношение комплексного значения гармонического напряжения на выходе цепи к комплексному значения гармонического напряжения той же частоты, приложенному ко входу цепи:

При этом спектральная плотность выходного сигнала:

.

Отсюда находим модули: спектральной плотности входного напряжения

;

АЧХ цепи

;

спектральной плотности выходного напряжения

.

На рис. 9.13 изображен спектр входного сигнала, АЧХ цепи и спектр выходного сигнала .