Геометрические соотношения
кости
A куб имеет одиннадцать сетей (одна показана выше): то есть есть одиннадцать способов сплющить полый куб, разрезав семь ребер. Чтобы раскрасить куб так, чтобы никакие две смежные грани не имели одинаковый цвет, потребуется как минимум три цвета.
Куб является ячейкой единственной правильной мозаики трехмерного евклидова пространства. Он также уникален среди Платоновых тел тем, что имеет грани с четным числом сторон, и, следовательно, это единственный член этой группы, который является зоноэдром (каждая грань имеет точечную симметрию).
Куб можно разрезать на шесть одинаковых квадратных пирамид. Если эти квадратные пирамиды затем прикрепить к граням второго куба, получится ромбический додекаэдр (с парами копланарных треугольников, объединенных в ромбические грани).
Формулы объема и площади поверхности. Призма, пирамида — материалы для подготовки к ЕГЭ по Математике
Изучение стереометрии начинается со знания формул. Для решения задач ЕГЭ по стереометрии нужны всего две вещи:
- Формулы объёма — например, объём куба, объём призмы, объем пирамиды — и формулы площади поверхности.
- Элементарная логика.
Все формулы объёма и формулы площади поверхности многогранников есть в нашей таблице.
Проще всего найти объём куба — это куб его стороны. Вот, оказывается, откуда берётся выражение «возвести в куб».
Объём параллелепипеда тоже легко найти. Надо просто перемножить длину, ширину и высоту.
Объём призмы — это произведение площади её основания на высоту. Если в основании треугольник — находите площадь треугольника. Если квадрат — ищите площадь квадрата. Напомним, что высота — это перпендикуляр к основаниям призмы.
Объём пирамиды — это треть произведения площади основания на высоту. Высота пирамиды — это перпендикуляр, проведенный из её вершины к основанию.
Некоторые задачи по стереометрии решаются вообще без формул! Например, эта.
Объём куба равен . Найдите объём четырёхугольной пирамиды, основанием которой является грань куба, а вершиной — центр куба.
Обойдёмся без формул! Просто посчитайте, сколько нужно таких четырёхугольных пирамидок, чтобы сложить из них этот куб
Очевидно, их 6, поскольку у куба 6 граней.
Иногда в задаче надо посчитать площадь поверхности куба или призмы.
Напомним, что площадь поверхности многогранника — это сумма площадей всех его граней.
В некоторых задачах каждое ребро многогранника увеличили, например, в три раза. Очевидно, что при этом площадь поверхности увеличится в девять раз, а объём — в раз.
Стереометрия — это просто! Для начала выучите формулы объёма и площади поверхности многогранников и тел вращения. А дальше — читайте о приемах решения задач по стереометрии.
Ссылки[]
- Смирнов Е. Ю. Группы Кокстера и правильные многогранники // Летняя школа «Современная математика». — Дубна: 2008.
- Ошибка скрипта: Модуля «MathWorld» не существует.
- Фанаты математики/геометрия. (англ.)
- Бумажные модели правильных многогранников. (англ.)
- Наука/геометрия/платоновы и архимедовы тела. (англ.)
- Платоновы, Архимедовы тела, призмы, тела Кеплера-Пуансо и усечённые тела Кеплера-Пуансо. (англ.)
- Веннинджер Магнус. Модели многогранников. — Москва: Мир, 1974. — 236 с. (см. ISBN )
Гончар В. В. Модели многогранников. — Москва: Аким, 1997. — 64 с. — ISBN 5-85399-032-2. (см. ISBN )
Гончар В. В., Гончар Д. Р. Модели многогранников. — Ростов-на-Дону: Феникс, 2010. — 143 с. — ISBN 978-5-222-17061-8. (см. ISBN )
Многогранники. Волшебные грани — наборы для сборки моделей многогранников. — Москва: Многогранники, 2012. — С. 20. (см. ISBN )
(рус.)
| Это заготовка статьи по геометрии. |
|
Выделить Правильный многогранник и найти в:
|
|
|
- Страница — краткая статья
- Страница 1 — энциклопедическая статья
- Разное — на страницах: 2 , 3 , 4 , 5
- Прошу вносить вашу информацию в «Правильный многогранник 1», чтобы сохранить ее
Гексаэдр своими словами для детей
Гексаэдр — это особый вид геометрической фигуры, которая имеет шесть граней. Грань — это плоская поверхность, которая ограничивает фигуру снаружи.
Когда мы говорим о гексаэдре, мы представляем себе куб. Куб — это гексаэдр, у которого все грани являются квадратами. То есть у куба есть шесть граней, и каждая из них — это квадрат.
Когда мы играем с кубиком, мы видим его разные грани. На одной грани может быть изображена цифра, а на другой — точки. Но внутри куба все грани одинаковы. Они все равны и имеют одинаковую форму.
Гексаэдры можно найти не только в игрушках. Они встречаются и в реальной жизни. Например, многие строения имеют форму гексаэдра. Кирпичи, из которых строят здания, имеют форму прямоугольных гексаэдров.
Гексаэдры используются не только в геометрии, но и в математике. Они помогают нам решать разные задачи. Мы можем считать грани, ребра и вершины гексаэдра, а также изучать его свойства.
Итак, гексаэдр — это геометрическая фигура с шестью гранями. Куб является примером гексаэдра, у которого все грани — квадраты. Гексаэдры встречаются в игрушках и в реальной жизни, и они помогают нам решать задачи в геометрии и математике.
Используемая литература:1. Белова, Т.И. Вычисление неопределенных интегралов. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Компьютерный курс: учеб. пособие / Т.И.Белова, А.А.Грешилов, И.В.Дубограй; Ред. А.А.Грешилов. — М.: Логос, 2004. — 184 с. + 1 эл. опт. диск (CD-ROM).2. Берман, Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа: учеб. пособие / Г.Н.Берман. — 22-е изд., перераб. — СПб.: Профессия, 2006. — 432 с.3. Берман, Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа: учеб. пособие / Г.Н.Берман. — 22-е изд., перераб. — СПб.: Профессия, 2005. — 432 с.4. Виноградова, И.А. Задачи и упражнения по математическому анализу: учеб. для вузов. В 2 ч. Ч.1 / И.А.Виноградова, С.Н.Олехник, В.А.Садовничий. — 4-е изд., стереотип. — М.: Дрофа, 2004. — 725 с.5. Виноградова, И.А. Задачи и упражнения по математическому анализу: учеб. пособие для вузов. Ч. 1. Дифференциальное и интегральное исчисление / И.А.Виноградова, С.Н.Олехник, В.А.Садовничий; Ред. В.А.Садовничий. — 3-е изд., испр. — М.: ДРОФА, 2001. — 725 с.6. Виноградова, И.А. Задачи и упражнения по математическому анализу: учеб. пособие для вузов. Ч.2. Ряды, несобственные интегралы, ряды Фурье, преобразование Фурье / И.А.Виноградова, С.Н.Олехник, В.А.Садовничий; ред. В.А.Садовничий . — 3-е изд., испр. — М.: ДРОФА, 2001. — 712 с.7. Голоскоков, Д.П. Уравнения математической физики. Решение задач в системе Maple: учеб. для вузов / Д.П.Голоскоков. — СПб.: Питер, 2004. — 538с.8. Гурова, З.И. Математический анализ. Начальный курс с примерами и задачами: учеб. для втузов / З.И.Гурова, С.Н.Каролинская, А.П.Осипова; Ред. А.И.Кибзун. — М.: Физматлит, 2002. — 351 с.9. Лукьянов, А.В. Обыкновенные дифференциальные уравнения: учеб. пособие по решению задач / А.В.Лукьянов, Ю.Д.Погуляев. — Челябинск: Полиграф-Мастер, 2006.10. Математический анализ в вопросах и задачах: учеб. пособие для вузов / В.Ф.Бутузов, Н.Ч.Крутицкая, Г.Н.Медведев, А.А.Шишкин; Ред. В.Ф.Бутузов . — 5-е изд., испр. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. — 479 с.Значение термина Гексаэдр на academic.ru
Куб
| Куб
Самый популярный многогранник из семейства Платоновых тел. |
Каждая из 8 вершин куба является вершиной 3 квадратов, поэтому сумма плоских углов при каждой вершине равна 270°.
У куба 12 ребер, имеющих равную длину. Примем длину ребра куба за а и представим числовые характеристики его элементов.
| Сумма длин всех ребер | 12а | |
| Площадь поверхности | 6а2 | |
| Объем | V = а3 | |
| Радиус описанной сферы | ||
| Радиус вписанной сферы | r = a/2 |
Кубу свойственны все виды симметрии.
Центром симметрии является точка пересечения диагоналей куба.
Через центр симметрии проходят 9 осей симметрии.
Ось симметрии куба может проходить либо через середины параллельных ребер, не принадлежащих одной грани, либо через
точку пересечения диагоналей противоположных граней.
Плоскостей симметрии у куба также 9 и проходят они либо через противоположные
ребра ( таковых плоскостей 6), либо через середины противоположных ребер (таких — 3).
В мире нет места для некрасивой математики. Готфрид Харди
Правильные многогранники — самые выгодные фигуры. И природа этим широко пользуется. Кристаллы некоторых знакомых нам веществ имеют форму правильных многогранников.
Куб передает форму кристаллов поваренной соли NaCl.
Форму куба имеют кристаллические решётки многих металлов (Li, Na, Cr, Pb, Al, Au, и другие), кристалл алмаза, кристаллическая решётка
хлорида цезия CsCl.
В 2009 г. должно исполниться 500 лет со времени выхода в свет книги Луки Пачоли «Божественная пропорция»,
а следовательно, и изобретения Леонардо да Винчи для ее иллюстрации метода жестких ребер.
Леонардо изображал своим способом не только индивидуальные многогранники, но и, например, плотную упаковку кубов.
Этим изображением Леонардо на три века предвосхитил гипотезу о периодическом строении кристаллов, высказанную французскими
кристаллографами аббатом Рэнэ-Жюстом Гаюи (1743-1822) и морским офицером Огюстом Бравэ (1811-1863).
Не менее интересна другая работа Маурица Эшера.
В центре гравюры «Водопад» расположен комплекс конструкций, поднимающийся на фоне ландшафта с террасами.
Вертикальная ось создается двумя мощными башнями, каждая из которых увенчана острогранными многогранниками слева — три пересекающиеся куба, а справа также три пересекающихся правильных октаэдра.
Маленькие домики примыкают к башням слева и справа в едином комплексе. Слева на первом плане картины изображен
маленький садик со странными, необычными подводными растениями. Центральным действием картины является ручей, который
падает на колесо и крутит его. Он течет слегка полого вниз и извивается, проходя через башни, при этом он трижды протекает
через точку, в которой уже проходил. Абсурдность доходит до нас через круг неправильных соединений куба.
В результате невольного восприятия зрительная точка оказывается самой ближней, а самая высокая точка становится самой низкой.
Водопад на картине Маурица Эшера осуществляет то,что мы считаем невозможным — вечное движение.
Общие сведения о правильных многогранниках
По мнению многих, правильные многогранники, или как их еще называют Платоновы тела, обладают неповторимыми свойствами. С этими объектами связано несколько научных гипотез. Когда начинаешь изучать данные геометрические тела, понимаешь, что практически ничего не знаешь о таком понятии, как правильные многогранники. Презентация этих объектов в школе не всегда проходит интересно, поэтому многие даже и не помнят, как они называются. В памяти большинства людей остается только куб. Ни одни тела в геометрии не обладают таким совершенством, как правильные многогранники. Все названия этих геометрических тел произошли из Древней Греции. Они означают количество граней: тетраэдр — четырехгранный, гексаэдр — шестигранный, октаэдр — восьмигранный, додекаэдр — двенадцатигранный, икосаэдр — двадцатигранный. Все эти геометрические тела занимали важнейшее место в концепции Платона о мироздании. Четыре из них олицетворяли стихии или сущности: тетраэдр — огонь, икосаэдр — воду, куб — землю, октаэдр — воздух. Додекаэдр воплощал все сущее. Он считался главным, поскольку был символом мироздания.
Гексаэдр простыми словами для чайников
Гексаэдр – это геометрическая фигура, которая имеет шесть граней. Каждая грань гексаэдра представляет собой плоскую поверхность, которая может быть квадратной или прямоугольной формы. Гексаэдр является одним из пяти правильных многогранников, вместе с тетраэдром (четырехгранником), октаэдром (восьмигранником), додекаэдром (двенадцатигранником) и икосаэдром (двадцатигранником).
Представьте себе куб – это пример гексаэдра. Куб имеет шесть граней, каждая из которых является квадратом. У куба все грани равны между собой по размеру и все углы между гранями – прямые.
Однако, гексаэдр не обязательно должен быть кубом. Другие примеры гексаэдров могут иметь прямоугольные грани, где длина и ширина граней могут быть разными. Такие гексаэдры могут иметь форму параллелепипеда или призмы.
Гексаэдры могут встречаться в различных аспектах нашей жизни. Например, кубик Рубика – это гексаэдр, состоящий из шести квадратных граней, которые могут вращаться друг относительно друга.
Также, гексаэдры могут использоваться в архитектуре. Некоторые здания могут иметь форму гексаэдра или его модификаций. Гексаэдры также могут использоваться в математике и науке для моделирования и изучения различных объектов и процессов.
В заключение, гексаэдр – это шестигранник с шестью гранями. Он может быть кубом или иметь другую форму с прямоугольными гранями. Гексаэдры встречаются в различных областях нашей жизни и используются для моделирования и изучения различных объектов и процессов.
1.1.2. Виды правильных многогранников
Тетраэдр
У тетраэдра 4 грани, 4 вершины и 6 рёбер. Грани – равносторонние треугольники. В каждой его вершине сходится три угла. Сумма этих углов при каждой вершине равна 180º.Октаэдр
В переводе с греческого οκτάεδρον (οκτώ — «восемь» и έδρα — «основание») — многогранник с восемью гранями. Грани правильного октаэдра — . Октаэдр имеет 6 вершин и 12 рёбер. В каждой вершине сходятся 4 треугольника, поэтому сумма углов при каждой вершине октаэдра составляет 240°.
Куб в переводе с древне-греческого κύβος2 или правильный гексаэдр («правильный шестигранник» от древнегреческого ἑξάς— «шесть» и ἕδρα — «седалище, основание») — правильный многогранник, каждая грань которого представляет собой .
Число сторон у грани – 4; общее число граней – 6; число рёбер примыкающих к вершине – 3; общее число вершин – 8; общее число рёбер – 12. Сумма углов при каждой вершине 90º + 90º + 90º = 270º
Додекаэдр от древнегреческого δώδεκα — «двенадцать» и εδρον — «грань». Додекаэдр составлен из двенадцати правильных пятиугольников, являющихся его гранями.
Каждая вершина додекаэдра является вершиной . Таким образом, додекаэдр имеет 12 граней (пятиугольных), 30 рёбер и 20 вершин (в каждой сходятся 3 ребра). Сумма углов при каждой вершине 108º + 108º + 108º = 324º
Икосаэдр от древнегреческого εἴκοσι «двадцать»; ἕδρον «сидение», «основание»— правильный выпуклый многогранник, двадцатигранник. Каждая из 20 граней представляет собой равносторонний треугольник.
Число ребер равно 30, число вершин — 12. Икосаэдр имеет 59 звёздчатых форм. Леонардом Эйлером в 1750 году была впервые выведена формула связывающая число вершин (В), граней (Г) и рёбер (Р) любого выпуклого многогранника простым соотношением: В + Г = Р + 2.
Таблица 1
| № | Вершины | Ребра | Грани | Формула Эйлера | |
| Тетраэдр | 4 | 6 | 4 | 4+4=6+2 | |
| Октаэдр | 6 | 12 | 8 | 6+8=12+2 | |
| Куб | 8 | 12 | 6 | 8+6=12+2 | |
| Додэкаэдр | 20 | 30 | 12 | 20+12=30+2 | |
| Икосаэдр | 12 | 30 | 20 | 12+20=30+2 |
Правильные многогранники с древних времен привлекали к себе внимание ученых, архитекторов, художников. Их поражала красота, совершенство, гармония этих многогранников
Леонардо да Винчи увлекался теорией многогранников и часто изображал их на своих полотнах. Он проиллюстрировал книгу монаха Луки Пачоли «О божественной пропорции».
Другим знаменитым художником, также увлекавшимся геометрией был Альбрехт Дюрер. В своей гравюре «Меланхолия» он дал перспективное изображение додекаэдра.
Немецкий астроном и математик Иоганн Кеплер в своей работе, используя правильные многогранники, вывел принцип, которому подчиняются формы и размеры планет Солнечной системы. Такая модель получила модель «Космического кубка» Кеплера.
Знаменитая картина Сальвадора Дали «Тайная вечеря» содержит перспективное изображение правильного додекаэдра.
Геометрические фигуры. Куб.
Куб или правильный гексаэдр – это правильный многогранник, у которого все грани это квадраты.
Куб является частным случаем параллелепипеда и призмы. 4 сечения куба имеют вид правильных
шестиугольников — это сечения через центр куба перпендикулярно 4-м главным диагоналям.
В кубе насчитывается шесть квадратов. Все вершины куба являются вершинами 3-х квадратов. То есть,
сумма плоских углов у каждой вершины = 270º.
Число рёбер примыкающих к вершине – 3;
Предположим, что а – длина стороны куба, а d — диагональ, тогда:
Диагональ куба – это отрезок, который соединяет 2 вершины, которые симметричны относительно центра
Свойства куба.
4 сечения куба имеют вид правильных шестиугольников — они проходят сквозь центр куба
перпендикулярно четырём его главным диагоналям.
В куб вписывают тетраэдр 2-мя способами. В любом из них 4-ре вершины тетраэдра всегда
совмещены с 4-мя вершинами куба и каждое из шести ребер тетраэдра принадлежат граням куба. В 1-м
случае каждая вершина тетраэдра принадлежит граням трехгранного угла, вершиной совпадающего с одной
из вершин куба. Во 2-м случае ребра тетраэдра, которые попарно скрещиваются принадлежат попарно
противоположным граням куба. Такой тетраэдр будет правильным, а его объём будет составлять треть от
В куб вписывают октаэдр, при этом все 6 вершин октаэдра совмещаются с центрами 6-ти граней
Куб вписывают в октаэдр, при этом все 8 вершин куба располагаются в центрах 8-ми граней
В куб вписывают икосаэдр, притом 6 взаимно параллельных рёбер икосаэдра располагаются на
6-ти гранях куба, следующие 24 ребра располагаются внутри куба. Каждая из 12 вершин икосаэдра
располагается на 6-ти гранях куба.
Элементы симметрии куба.
Ось симметрии куба может пролегать или сквозь середины ребер, которые
параллельны, не принадлежащих одной из граней, или сквозь точку
пересечения диагоналей противолежащих граней. Центром симметрии
куба будет точка пересечения диагоналей куба.
Сквозь центр симметрии куба проходят 9 осей симметрии.
Плоскостей симметрии у куба тоже 9, они пролегают или
через противолежащие ребра (таких плоскостей 6), или
через середины противолежащих ребер (таких 3).
Упражнения на решение кубиков
Вопрос 1
Сумма ребер куба равна 96 см, поэтому мера общей площади этого куба равна:
А) 64 см²
Б) 128 см²
В) 232 см²
Г) 256 см²
Д) 384 см²
Разрешение:
Альтернатива Е
Сначала вычислим меру ребра куба. Поскольку у него 12 ребер, и мы знаем, что сумма 12 ребер равна 96, мы имеем:
= 96: 12
= 8 см
Зная, что каждое ребро имеет длину 8 см, теперь можно вычислить общую площадь куба:
\(А_Т=6а^2\)
\(A_T=6\cdot8^2\)
\(A_T=6\cdot64\)
\(A_T=384\ см^2\)
вопрос 2
Для очистки необходимо опорожнить резервуар для воды. Зная, что он имеет форму куба с ребром 2 м и что 70 % этого резервуара уже пусты, тогда объем этого резервуара, который еще занят, равен:
А) 1,7 м³
Б) 2,0 м³
В) 2,4 м³
Г) 5,6 м³
Д) 8,0 м³
Разрешение:
Альтернатива С
Сначала рассчитаем объем:
\(V=а^3\)
\(V=2^3\)
\(V=8\ м^3\)
Если 70% объема пусто, то 30% объема занято. Вычисление 30% от 8:
\(0,3\cdot8=2,4\м^3\)
Рауль Родригес де Оливейра
Учитель математики
Обобщение понятия многогранника
Многогранником является совокупность конечного числа многоугольников такая, что:
- каждая из сторон любого из многоугольников является одновременно и стороной только одного другого многоугольника по той же стороне;
- от каждого из многоугольников можно дойти до других переходя по смежным с ним многоугольникам.
Многоугольники, составляющие многогранник, представляют собой его грани, а их стороны — ребра. Вершинами многогранников являются вершины многоугольников. Если под понятием многоугольник понимают плоские замкнутые ломаные, то приходят к одному определению многогранника. В том случае, когда под этим понятием подразумевают часть плоскости, что ограничена ломаными линиями, то следует понимать поверхность, состоящую из многоугольных кусочков. называют тело, лежащее по одну сторону плоскости, прилегающей к его грани.
Вариант развертки
Куб можно изготовить самостоятельно. Бумага или картон самый подходящий вариант. Для сборки потребуется бумажная развёртка — единая деталь с линиями сгибов.
Древнегреческий философ Платон ассоциировал гексаэдр с землёй – одним из базовых «земных» элементов, поэтому для построения модели этого правильного многогранника мы выбрали коричневый цвет.
На рис.2 представлена развертка гексаэдра:
Для построения модели Вы можете скачать развертку в формате pdf и распечатать на листе формата А4:— если Вы предполагаете распечатать на цветном принтере — цветная развертка (pdf) — если Вы предполагаете использовать для сборки цветной картон — разверткa (pdf)
Куб из набора «Волшебные грани»
Вы можете изготовить модель додекаэдра воспользовавшись деталями для сборки из набора «Волшебные грани».
Основные понятия введения в стереометрию
Формулы для куба
Примем следующие обозначения, которые будут использоваться далее:
Длина диагонали куба равняется длине его ребра, умноженной на квадратный корень из трех.
Диагональ грани куба равна его ребру, умноженному на квадратный корень из двух.
Площадь полной поверхности
Площадь полной поверхности куба равняется шести площадям его грани. В формуле может использоваться длина ребра или диагонали.
Периметр куба равен длине его ребра, умноженной на 12. Также может рассчитываться через диагональ.
Объем куба равен длине его ребра, возведенной в куб.
Радиус шара, описанного около куба, равняется половине его диагонали.
Геометрические фигуры. Куб.
Куб или правильный гексаэдр – это правильный многогранник, у которого все грани это квадраты.
Куб является частным случаем параллелепипеда и призмы. 4 сечения куба имеют вид правильных
шестиугольников — это сечения через центр куба перпендикулярно 4-м главным диагоналям.
В кубе насчитывается шесть квадратов. Все вершины куба являются вершинами 3-х квадратов. То есть,
сумма плоских углов у каждой вершины = 270º.
Число рёбер примыкающих к вершине – 3;
Предположим, что а – длина стороны куба, а d — диагональ, тогда:
Диагональ куба – это отрезок, который соединяет 2 вершины, которые симметричны относительно центра
Свойства куба.
4 сечения куба имеют вид правильных шестиугольников — они проходят сквозь центр куба
перпендикулярно четырём его главным диагоналям.
В куб вписывают тетраэдр 2-мя способами. В любом из них 4-ре вершины тетраэдра всегда
совмещены с 4-мя вершинами куба и каждое из шести ребер тетраэдра принадлежат граням куба. В 1-м
случае каждая вершина тетраэдра принадлежит граням трехгранного угла, вершиной совпадающего с одной
из вершин куба. Во 2-м случае ребра тетраэдра, которые попарно скрещиваются принадлежат попарно
противоположным граням куба. Такой тетраэдр будет правильным, а его объём будет составлять треть от
В куб вписывают октаэдр, при этом все 6 вершин октаэдра совмещаются с центрами 6-ти граней
Куб вписывают в октаэдр, при этом все 8 вершин куба располагаются в центрах 8-ми граней
В куб вписывают икосаэдр, притом 6 взаимно параллельных рёбер икосаэдра располагаются на
6-ти гранях куба, следующие 24 ребра располагаются внутри куба. Каждая из 12 вершин икосаэдра
располагается на 6-ти гранях куба.
Элементы симметрии куба.
Ось симметрии куба может пролегать или сквозь середины ребер, которые
параллельны, не принадлежащих одной из граней, или сквозь точку
пересечения диагоналей противолежащих граней. Центром симметрии
куба будет точка пересечения диагоналей куба.
Сквозь центр симметрии куба проходят 9 осей симметрии.
Плоскостей симметрии у куба тоже 9, они пролегают или
через противолежащие ребра (таких плоскостей 6), или
через середины противолежащих ребер (таких 3).
