Это куб или квадрат целого числа 125 куб квадрат 125

Фсу – формулы сокращённого умножения по алгебре за 7 класс с примерами

Основная задача формул сокращённого умножения

Формулы сокращённого умножения (ФСУ) нужны для того, чтобы умножать и возводить в степень числа, выражения, в том числе многочлены. То есть, при помощи формул можно работать с числами значительно быстрее и проще. Таким образом можно из сложного уравнения сделать обычное, что упростит задачу.

Таблица с формулами сокращённого умножения

Квадрат суммы		Квадрат первого выражения плюс удвоенного произведение первого и второго выражения, плюс квадрат второго выражения.
Квадрат разности		Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения, минус удвоенное произведение первого выражения на второе, плюс квадрат второго выражения.
Куб суммы		Куб разности двух выражений равен кубу первого выражения плюс утроенное произведение первого выражения в квадрате на второе выражение, плюс утроенное произведение первого выражения на второе в квадрате, плюс второе выражение в кубе.
Куб разности		Куб разности двух величин равен первое выражение в кубе минус утроенное произведение первого выражения в квадрате на второе выражение, плюс утроенное произведение первого выражения на второе в квадрате, минус второе выражение в кубе.
Разность квадратов		Разность квадратов первого и второго выражений равен произведению разности двух выражений и их суммы.
Сумма кубов		Произведение суммы двух величин на неполный квадрат разности равно сумме их кубов.
Разность кубов		Произведение разности двух выражений на неполный квадрат суммы равно разности их кубов.

Формулы сокращенного умножения (скачать таблицу для печати)

Обратите внимание на первые четыре формулы. Благодаря им можно возводить в квадрат или куб суммы (разности) двух выражений. Что касается пятой формулы, её нужно применять, чтобы вкратце умножить разность или сумму двух выражений

Что касается пятой формулы, её нужно применять, чтобы вкратце умножить разность или сумму двух выражений.

Две последние формулы (6 и 7) применяются, чтобы умножать суммы обоих выражений на их неполный квадрат разности или суммы.

Вышеперечисленные формулы довольно-таки часто нужны на практике. Именно поэтому их желательно знать наизусть.

Такую же процедуру можно проделывать и с остальными формулами.

Доказательство ФСУ

Шаг первый.

Возведём a + b во вторую степень. Для этого степень трогать не будем, а выполним банальное умножение:  = x .

Шаг второй. Теперь и выносим за скобки: x + x .

Шаг третий. Раскрываем скобки: x + x + x + x .

Шаг четвёртый. Умножаем, не забывая о знаках: x + x + .

Шаг пятый. Упрощаем выражение: .

Точно так же можно доказать абсолютно любую формулу сокращённого умножения.

Примеры и решения с помощью ФСУ

Как правило, эти семь формул применяются тогда, когда нужно упростить выражение, чтобы решить какое-либо уравнение и даже обычный пример.

Пример 1

• Задание
• Упростите выражение:
• Как видно, к этому примеру подходит первая формула сокращённого умножения – Квадрат суммы.
• Решение

Исходя из первой формулы надо пример разложить на множители. Для этого смотрим на формулу и вместо букв подставляем цифры. В нашем случае «а» – это 3x, а «b» – это 5:

1. x x +
2. Считаем правую часть и записываем результат. У нас получается:
3. + x x +
4. В примере надо умножить всё то, что умножается и сразу получаем ответ:

Конечно же, есть примеры и с дробями. Но, если научитесь решать простые примеры, тогда другие виды вам будут не страшны.

Пример 2

• Задание
• Упростите выражение
• Решение
• = – x x + =

Пример 3

1. Задание
2. Представьте в виде квадрата двучлена трёхчлен
3. Решение
4. Здесь квадраты выражений – и
5. Выражения, которые возводились в квадрат – и
6. Удвоенное произведение этих выражений – , который совпадает с со вторым членом трёхчлена (со знаком «плюс), значит,

Итак, как видно, ничего сложно в примерах нет. Главное, знать формулы, где их можно применять, а где можно обойтись и без них.

Полезные источники

1. Арефьева И. Г., Пирютко О. Н. Алгебра: учебник пособие для 7 класса учреждений общего среднего образования: Минск “Народная Асвета”, 2017 – 304 с.
2. Никольский С. М., Потапов М. К. Алгебра 7 класс: М: 2015 – 287 с.
3. Рубин А. Г., Чулков П. В. Алгебра. 7 класс. М: 2015 – 224 с.

Что такое разложение числа на множители?

Любое натуральное число можно представить в виде
произведения простых чисел. Это представление называется разложением
числа на простые множители.

Натуральное число называется делителем целого числа если для подходящего целого числа верно
равенство . В этом случае говорят, что делится на или что число кратно
числу .

Простым числом называют натуральное число , делящееся только на себя и на единицу. Составным
числом называют число, имеющее больше двух различных делителей (любое натуральное число не равное
имеет как минимум два делителя: и ). Например, числа – простые, а числа – составные.

Основная теорема арифметики. Любое натуральное число большее единицы, можно
разложить в произведение простых чисел, причём это разложение единственно с точностью до порядка следования
сомножителей.

Дополнительные формулы сокращенного умножения

Есть три основные дополнительные ФСУ – это бином Ньютона, формула возведения в квадрат суммы трех, четырех и более слагаемых, а также формула разности n-ых степеней двух слагаемых. Коротко о каждой из них.

Бином Ньютона

Бином Ньютона – это формула для разложения на отдельные слагаемые целой неотрицательной степени суммы двух переменных. Выглядит она следующим образом:

Ck в степени n – это биноминальные коэффициенты, стоящие в строке под номером n в треугольнике Паскаля. Вычисляются эти коэффициенты по формуле:

Иначе говоря, ФСУ для квадрата и куба разности и суммы являются частными случаями формулы бинома Ньютона при n=2 и n=3 соответственно.

Однако может быть так, что слагаемых в сумме, которую нужно возвести в степень, больше, чем два. В таком случае подойдет формула квадрата суммы трех, четырех и более слагаемых.

Формула возведения в квадрат суммы трех, четырех и более слагаемых

Как и было сказано, формула возведения в квадрат суммы трех, четырех и более слагаемых нужна, когда слагаемых в сумме, которую нужно возвести в степень, больше, чем два.

Выглядит она так:

Читать и запоминать эту формулу нужно следующим образом: квадрат суммы n слагаемых равен сумме квадратов всех слагаемых и удвоенных произведений всех возможных пар этих слагаемых.

Формула разности n-ых степеней двух слагаемых

И последняя формула – это формула разности n-ых степеней двух слагаемых, выглядящая вот так:

Как правило, данную формулу разделяют на две отдельные: для четных и нечетных степеней.

Формула для четных показателей 2m:

Формула для нечетных показателей 2m + 1:

Несложно догадаться, что ФСУ разности квадратов и кубов являются частными случаями данной формулы при n=2 и n=3 соответственно. А для разности кубов b заменяется на –b.

Рассмотренные нами ФСУ и дополнительные ФСУ обязательно помогут вам быстрее справляться с математическими задачами и занимать свой мозг полезной деятельностью.

Вопросы и ответы

И напоследок несколько ответов на часто задаваемые вопросы.

Для чего нужны формулы сокращенного умножения?

Формулы сокращенного умножения нужны, чтобы упростить и ускорить вычисления, а также для улучшения наглядности и понимания математических выражений.

В настоящее время ФСУ широко используются в образовании и науке, а также в практической жизни. Они применяются в различных областях, таких как математика, физика, химия и инженерия, плюс могут применяться к решению различных задач, например, в области финансов, менеджмента и исследования данных.

Как появились формулы сокращенного умножения?

Формулы сокращенного умножения появились в результате исследований математиков в области алгебры и арифметики и основаны на использовании их свойств, таких как коммутативность, ассоциативность и дистрибутивность.

Если обратиться к истории, можно узнать, что такими формулами пользовались еще в Древнем Вавилоне и Древнем Египте. Первым же, кто доказал математическую закономерность квадрата суммы, был древнегреческий ученый Евклид, живший в III веке до н.э. А на общепринятом языке математические формулы были обоснованы Исааком Ньютоном.

Сколько всего формул сокращенного умножения?

Не существует точного количества формул сокращенного умножения, т.к. их можно создавать неограниченное количество. Но в основном изучают и используют семь основных формул. Это квадрат суммы, квадрат разности, разность квадратов, сумма кубов, разность кубов, куб суммы и куб разности. Также распространено применения трех дополнительных ФСУ, таких как бином Ньютона, формула возведения в квадрат суммы трех, четырех и более слагаемых и формула разности n-ых степеней двух слагаемых.

Почему формулы сокращенного умножения изучают на алгебре в 7 классе?

Формулы сокращенного умножения изучаются на алгебре в 7 классе, потому что именно на этом этапе школьники знакомятся с понятием многочлена и действиям с ним. Кроме того, ФСУ являются важным и основным инструментом для решения математических задач и упрощения вычислений.

Формулы помогают ученикам развить навыки в решении простых задач, а также дают им навыки для решения более сложных задач в будущем, что в перспективе способно помочь молодым людям в их дальнейшем обучении и карьере.

Можно ли не использовать формулы сокращенного умножения?

Конечно, при решении математических задач можно и не использовать формулы сокращенного умножения. Однако без них процесс решения может оказаться очень трудоемким и долгим. ФСУ же заметно упрощают его и помогают справляться с заданиями намного быстрее.

Помимо прочего, ФСУ входят в обязательную школьную программу, вследствие чего преподаватели часто требуют от учеников, во-первых, знать эти формулы наизусть, а во-вторых, решать задания именно с их помощью.

Делители числа 125.

(что бы не забыть запишите все делители числа 125 в блокнот.)На какие целые и(или) натуральные числа делится число 125?

Число 125 делится на следующие целые, натуральные числа (все делители числа 125): 1, 5, 25, 125

На какие четные числа делится число 125?

Таких чисел нет.

На какие нечетные числа делится число 125?

Число 125 делится на следующие нечетные числа (нечетные делители числа): 1, 5, 25, 125

Сколько делителей имеет число 125?

Число 125 имеет 4 делителя

Сколько четных делителей имеет число 125?

Число 125 имеет 0 четных делителей

Сколько нечетных делителей имеет число 125?

Число 125 имеет 4 нечетных делителя

Какие трехзначные числа делятся на 125?

На число 125 делятся следующие трехзначные числа: 125, 250, 375, 500, 625, 750, 875.

Какое наименьшее трехзначное число делится на 125?

Наименьшее трехзначное число которое можно разделить на число 125 есть число 125

Какое наибольшее трехзначное число делиться на 125?

Наибольшее трехзначное число которое можно разделить на число 125 есть число 875

Сколько трехзначных чисел делятся на 125?

Таких чисел — 7.

Какие четырехзначные числа делятся на 125?

На число 125 делятся следующие четырехзначные числа: 1000, 1125, 1250, 1375, 1500, 1625, 1750, 1875, 2000, 2125, 2250, 2375 и другие.

Какое наименьшее четырехзначное число делится на 125?

Наименьшее четырехзначное число которое можно разделить на число 125 есть число 1000

Какое наибольшее четырехзначное число делиться на 125?

Наибольшее четырехзначное число которое можно разделить на число 125 есть число 9875

Сколько четырехзначных чисел делятся на 125?

Таких чисел — 72.

Задания для самостоятельного решения

Задание 1. Преобразуйте выражение (m + n)2 в многочлен.

Решение:
(m + n)2 = m2 + 2mn + n2

Задание 2. Преобразуйте выражение (x + 8)2 в многочлен.

Решение:
(x + 8)2 = x2 + 2 × x × 8 + 82 = x2 + 16x + 64

Задание 3. Преобразуйте выражение (2×2 + 3×3)2 в многочлен.

Решение:
(2×2 + 3×3)2 = (2×2)2 + 2 × 2×2 × 3×3 + (3×3)2 = 4×4 + 12×5 + 9×6

Задание 4. Преобразуйте выражение (5a + 5)2 в многочлен.

Решение:
(5a + 5)2 = (5a)2 + 2 × 5a × 5 + 52 = 25a2 + 50a + 25

Задание 5. Преобразуйте выражение (9 − x)2 в многочлен.

Решение:
(9 − x)2 = 92 − 2 × 9 × x + x2 = 81 − 18x + x2

Задание 6. Преобразуйте выражение (x − 25)2 в многочлен.

Решение:
(x − 25)2 = x2 − 2 × x × 25 + 252 = x2 − 50x + 625

Задание 7. Преобразуйте выражение (3×2 − y3)2 в многочлен.

Решение:
(3×2 − y3)2 = (3×2)2 − 2 × 3×2 × y3 + ( y3)2 = 9×4 − 6x2y3 + y6

Задание 8. Выполните умножение (x − y)(x + y)

Решение:
(x − y)(x + y) = x2 − y2

Задание 9. Выполните умножение (2x − y)(2x + y)

Решение:
(2x − y)(2x + y) = (2x)2 − y2 = 4×2 − y2

Задание 10. Выполните умножение (7 + 3y)(3y − 7)

Решение:
(7 + 3y)(3y − 7) = (3y)2 − 72 = 9y2 − 49

Задание 11. Выполните умножение (x2 − 5)(x2 + 5)

Решение:
(x2 − 5)(x2 + 5) = (x2)2 − 52 = x4 − 25

Задание 12. Выполните умножение (a3 − b2)(a3 + b2)

Решение:
(a3 − b2)(a3 + b2) = (a3)2 − (b2)2 = a6 − b4

Задание 13. Выполните умножение (5a2 + 2b3)(5a2 − 2b3)

Решение:
(5a2 + 2b3)(5a2 − 2b3) = (5a2)2 − (2b3)2 = 25a4 − 4b6

Задание 14. Выполните умножение (9x − y2)(y2 + 9x)

Решение:
(9x − y2)(y2 + 9x) = (9x)2 − (y2)2 = 81×2 − y4

Задание 15. Выполните умножение (2 − x)(4 + 2x + x2)

Решение:
(2 − x)(4 + 2x + x2) = 23 − x3 = 8 − x3

Задание 16. Выполните умножение (3 − 2)(9 + 6 + 4)

Решение:
(3 − 2)(9 + 6 + 4) = 33 − 23 = 27 − 8 = 19

Задание 17. Выполните умножение (4x + 1)(16×2 − 4x + 1)

Решение:
(4x + 1)(16×2 − 4x + 1) = (4x)3 + 13 = 64×3 + 1

Понравился урок? Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках

Примеры задач

Задача 1

Дано несколько выражений, которые с применением формул сокращенного умножения требуется разложить на множители:

\(x^3+y^3\)

\(m^3-n^3\)

\(8a^3+1\)

\(125-64y^3\)

\(\frac{1}{8} k^6-8\)

\(27+ \frac{m^3}{125}\)

Решение

Вспомним правило куба суммы и выполним соответствующие преобразования. В результате:

\(x^3+y^3 = (x+y)(x^2-xy+y^2)\)

\(m^3-n^3 = (m-n)(m^2+mn+n^2)\)

\(8a^3+1 = (2a)^3+1^3 = (2a+1)(4a^2-2a+1)\)

\(125-64y^3 = 5^3-(4y)^3 = (5-4y)(25+20y+16y^2)\)

\(\frac{1}{8} k^6-8 = ( \frac{1}{2} k^2 )^3-2^3=(\frac{1}{2} k^2-2)(\frac{1}{4} k^4+k^2+4)\)

\(27+ \frac{m^3}{125} = 3^3+(\frac{m}{5})^3 = (3+\frac{m}{5})(9-\frac{3m}{5}+\frac{m^2}{25})\)

Ответ: \((x+y)(x^2-xy+y^2); (m-n)(m^2+mn+n^2); (2a+1)(4a^2-2a+1); (5-4y)(25+20y+16y^2); (\frac{1}{2} k^2-2)(\frac{1}{4} k^4+k^2+4); (3+\frac{m}{5})(9-\frac{3m}{5}+\frac{m^2}{25}).\)

Задача 2

 Дано следующее выражение:

\(19^3-11^3\)

Необходимо представить доказательства его кратности числу 8.

Решение

Воспользуемся формулой разности кубов, которую достаточно просто получить из соотношения суммы кубов. Выполним преобразования путем деления данного выражения на число 8:

\(\frac{19^3-11^3}{8} = \frac{(19-11)(19^2+19\cdot11+11^2 )}{8} = \frac{8(19^2+19\cdot11+11^2 )}{8} = 19 ^2+19\cdot11+11^2\)

Ответ: выражение \(19^3-11^3\) кратно числу 8.

Задача 3

Дано несколько выражений, которые с помощью применения формул сокращенного умножения требуется записать в форме многочлена:

\((x+5)^3\)

\((9-z)^3\)

\((5b-3c)^3\)

\((2mk+1)^3\)

Решение

Выполним соответствующие преобразования, используя уже знакомые правила разложения кубов суммы и разности кубов на многочлены:

\((x+5)^3 = x^3+3\cdot x^2\cdot5+3\cdot x\cdot5^2+5^3 = x^3+15x^2+75x+125\)

\((9-z)^3 = 9^3-3\cdot9^2\cdot z+3\cdot9\cdot z^2-z^3 = 729-243+27z^2-z^3\)

\((5b-3c)^3 = (5b)^3-3\cdot(5b)^2\cdot3c+3\cdot5b\cdot(3c)^2-(3c)^3 = 125b^3-225b^2c+135bc^2-27c^3\)

\((2mk+1)^3 = (2mk)^3+3\cdot(2mk)^2\cdot1+3\cdot2mk\cdot1^2+1^3 = 8m^3k^3+12m^2k^2+6mk+1\)

Ответ:  \(x^3+15x^2+75x+125; 729-243+27z^2-z^3; 125b^3-225b^2 c+135bc^2-27c^3; 8m^3k^3+12m^2k^2+6mk+1.\)

Задача 4

Необходимо записать в упрощенной форме следующие выражения:

\((a+2)^3-(a-2)^3\)

\((x-3y)^3+9xy(x-3y)\)

\((x+y)^3-x(x-y)^2\)

\(3m(k+3m)^2-(k+3m)^3\)

Решение

Заметим, что в данном случае целесообразно воспользоваться формулами сокращенного умножения. Применим куб суммы и куб разности, чтобы упростить соотношения и запишем ответы:

\((a+2)^3-(a-2)^3 = a^3+3a^2\cdot2+3a\cdot2^2+2^3-(a^3-3a^2\cdot2+3a\cdot2^2-2^3 )= 2\cdot6a^2-2\cdot8 = 12a^2-16\)

\((x-3y)^3+9xy(x-3y) = x^3-3x^2\cdot3y+3x\cdot(3y)^2-27y^3+9x^2 y-27xy^2 = x^3-27y^3\)

\((x+y)^3-x(x-y)^2 = x^3-3x^2 y+3xy^2+y^3-x(x^2-2xy+y^2 ) = x^3-3x^2 y+3xy^2+y^3-x^3+2x^2 y-xy^2 = -x^2 y+2xy^2+y^3\)

\(3m(k+3m)^2-(k+3m)^3 = 3m(k^2+6km+9m^2 )-(k^3+3k^2\cdot3m+3k\cdot(3m)^2+(3m)^3 ) = 3k^2 m+18km^2+27m^3- k^3-9k^2 m-27km^2-27m^3 = -6k^2 m-9km^2-k^3\)

Ответ: \(12a^2-16; x^3-27y^3; -x^2 y+2xy^2+y^3; -6k^2 m-9km^2-k^3.\)

Задача 5

Задано несколько выражений, значение которых необходимо вычислить с использованием формул сокращенного умножения и подстановки неизвестных:

\(a^3-b^3-3ab(a-b)\), если \(a = -7; b = -17\)

\(3ab(a+b)+a^3+b^3\), если \(a = -3; b = 13.\)

Решение:

Заменим неизвестные данными числами и воспользуемся правилами сокращенного умножения:

\(a^3-b^3-3ab(a-b) = a^3-b^3-3a^2 b+3ab^2 = a^3-3a^2 b+3ab^2-b^3 = (a-b)^3\)

Путем подстановки получим:

\((-7-(-17) )^3 = 10^3 = 1000\)

Аналогичным способом вычислим второе выражение:

\(3ab(a+b)+a^3+b^3 = 3a^2 b+3ab^2+a^3+b^3 = a^3+3a^2 b+3ab^2+b^3 =(a+b)^3\)

Подставим значения из условия задачи:

\((-3+13)^3 = 10^3 = 1000\)

Ответ: \(1000; 1000.\)

Куб суммы и куб разности

\( \displaystyle {{(a+b)}^{3}}={{a}^{3}}+3{{a}^{2}}b+3a{{b}^{2}}+{{b}^{3}}\)

Формулы куба суммы и куба разности выводятся аналогичным образом, как квадрат суммы и квадрат разности: раскрытием скобок при перемножении членов друг на друга.

Если квадрат суммы и квадрат разности запомнить весьма легко, то возникает вопрос «как запомнить кубы?»

Посмотри внимательно на две описываемые формулы в сравнении с возведением аналогичных членов в квадрат:

\( {{\left( a+b \right)}^{2}}={{a}^{2}}+2ab+{{b}^{2}}\)	\( {{\left( a+b \right)}^{3}}={{a}^{3}}+3{{a}^{2}}b+3a{{b}^{2}}+{{b}^{3}}\)
\( {{\left( a-b \right)}^{2}}={{a}^{2}}-2ab+{{b}^{2}}\)	\( {{\left( a-b \right)}^{3}}={{a}^{3}}-3{{a}^{2}}b+3a{{b}^{2}}-{{b}^{3}}\)

Какую ты видишь закономерность?

• При возведении в квадрат у нас есть квадрат первого числа и квадрат второго. При возведении в куб – есть куб одного числа и куб другого числа.
• При возведении в квадрат, у нас есть удвоенное произведение чисел (числа в 1 степени, что на одну степень меньше чем та, в которую возводим выражение). При возведении в куб – утроенное произведение, при котором одно из чисел возводится в квадрат (что так же на 1 степень меньше, чем степень, в которую возводим выражение).
• При возведении в квадрат знак в скобках в раскрытом выражении отражается при прибавлении (или вычитании) удвоенного произведения – если в скобках сложение, то прибавляем, если вычитание – отнимаем. При возведении в куб правило такое: если у нас куб суммы, то все знаки «+», а если куб разности, то знаки чередуются: «\( +\)» — «\( —\)» — «\( +\)» — «\( —\)».

Всё перечисленное, кроме зависимости степеней при умножении членов, изображено на рисунке.

Как найти корень кубический в калькуляторе

Корень кубический — это число, которое умноженное на себя два раза дает исходное число. Корень кубический можно найти в калькуляторе, используя функцию встроенную в большинство научных калькуляторов.

Для поиска корня кубического в калькуляторе необходимо ввести исходное число, затем нажать кнопку «3 √x». Результат будет выведен на экран. Если результатом окажется дробное число, то следует округлить его до нужного числа знаков после запятой.

При работе с калькулятором следует учитывать, что значение корня кубического может быть как положительным, так и отрицательным. Калькулятор может выдавать только положительный результат, поэтому в таких случаях следует использовать формулу для нахождения корня кубического вручную.

Для поиска корня кубического вручную необходимо использовать формулу:

Где х — исходное число, y — корень кубический. Чтобы избежать ошибок в вычислениях, следует использовать калькулятор для выполнения промежуточных операций.

Вопрос-ответ

Вопрос: Как найти корень кубический из отрицательного числа?

Ответ: Для нахождения корня кубического из отрицательного числа необходимо возвести его в куб и затем извлечь из него корень. Полученный результат нужно домножить на (-1), чтобы получить корень из исходного отрицательного числа. Например, корень кубический из -27 равен -3, так как (-3) * (-3) * (-3) = -27.

Вопрос: Можно ли найти корень кубический из комплексного числа?

Ответ: Да, корень кубический из комплексного числа можно найти. Для этого необходимо использовать формулу Муавра и найти все три корня, как для обычных действительных чисел. Однако результат будет также комплексным числом, а не только действительным.

Вопрос: Можно ли найти корень кубический из нецелого числа?

Ответ: Да, из нецелого числа также можно найти корень кубический. Для этого достаточно возвести его в степень 1/3. Если число нецелое, то ответ также будет нецелым, но это не мешает найти корень.

Вопрос: Можно ли найти корень кубический без использования калькулятора?

Ответ: Да, корень кубический можно найти без использования калькулятора, если известны таблицы степеней чисел или если известны формулы для нахождения корней кубических. Однако в большинстве случаев использование калькулятора упрощает задачу и экономит время.

Вопрос: Как найти корень кубический по методу Герона?

Ответ: Метод Герона, также известный как метод брахистохроны, является одним из методов нахождения корней уравнения. Для нахождения корня кубического методом Герона нужно выбрать начальное приближение, затем подставить его в формулу и повторять вычисления с новыми значениями, пока ответ не станет достаточно близким к искомому. Этот метод может потребоваться, когда другие способы нахождения корня кубического не применимы.

Главная — Полезно — Простые шаги для поиска корня кубического: полезные советы и методы

Комментарии

Дмитрий

5.0 out of 5.0 stars5.0

Nikita88
5.0 out of 5.0 stars5.0

Честно говоря, я всегда считал, что поиск корня кубического сложный процесс, но благодаря этой статье все оказалось намного проще. Все шаги описаны детально и понятно, а примеры помогли на практике закрепить материал. Рекомендую всем, кто сталкивается с этой задачей!

Александр
5.0 out of 5.0 stars5.0

Я инженер-механик и нередко сталкиваюсь с задачами, связанными с вычислением корней, в том числе и кубического. До этой статьи я часто использовал специальные программы или калькуляторы. Однако, после прочтения, я убедился, что все это можно сделать вручную и достаточно просто.

В целом, статья очень полезна и информативна. Я уверен, что она будет полезна не только инженерам, но и студентам и школьникам, изучающим математику на более продвинутом уровне.

Иван Петров
5.0 out of 5.0 stars5.0

Поначалу казалось, что материал немного сложный для меня, но благодаря ясному изложению и примерам, я смог разобраться. Очень пригодится в учебе, я буду рекомендовать эту статью своим друзьям.

Сергей Иванов
5.0 out of 5.0 stars5.0

Статья помогла мне быстро разобраться в поиске корня кубического. Спасибо автору!

Maximus24
5.0 out of 5.0 stars5.0

Статья очень полезная, я нашел то, что искал, спасибо!

Как использовать разность кубов

В предыдущих уроках мы рассмотрели два способа разложения многочлена на множители: вынесение общего множителя за скобки и способ группировки.

В этом уроке мы рассмотрим еще один способ разложения многочлена на множители с применением формул сокращённого умножения.

Прежде чем перейти к этому уроку обязательно выучите наизусть все формулы сокращенного умножения.

Рекомендуем каждую формулу прописать не менее 12 раз. Для лучшего запоминания выпишите все формулы сокращённого умножения себе на небольшую шпаргалку.

Вспомним, как выглядит формула разности кубов.

a 3 − b 3 = (a − b)(a 2 + ab + b 2 )

Формула разности кубов не очень проста для запоминания, поэтому рекомендуем использовать специальный способ для её запоминания.

Важно понимать, что любая формула сокращённого умножения действует и в обратную сторону. (a − b)(a 2 + ab + b 2 ) = a 3 − b 3. (a − b)(a 2 + ab + b 2 ) = a 3 − b 3

(a − b)(a 2 + ab + b 2 ) = a 3 − b 3

Как разложить на множители разность кубов

Рассмотрим пример. Необходимо разложить на множители разность кубов.

Обратим внимание, что « 27а 3 » — это « (3а) 3 », значит, для формулы разности кубов вместо « a » мы используем « 3a ». Используем формулу разности кубов. На месте « a 3 » у нас стоит « 27a 3 », а на месте « b 3 », как и в формуле, стоит « b 3 »

На месте « a 3 » у нас стоит « 27a 3 », а на месте « b 3 », как и в формуле, стоит « b 3 »

Используем формулу разности кубов. На месте « a 3 » у нас стоит « 27a 3 », а на месте « b 3 », как и в формуле, стоит « b 3 ».

Применение разности кубов в обратную сторону

Рассмотрим другой пример. Требуется преобразовать произведение многочленов в разность кубов, используя формулу сокращенного умножения.

Обратите внимание, что произведение многочленов « (x − 1)(x 2 + x + 1) » напоминает правую часть формулы разности кубов « a 3 − b 3 = (a − b)(a 2 + ab + b 2 ) », только вместо « a » стоит « x », а на месте « b » стоит « 1 ». Используем для « (x − 1)(x 2 + x + 1) » формулу разности кубов в обратную сторону. Используем для « (x − 1)(x 2 + x + 1) » формулу разности кубов в обратную сторону

Используем для « (x − 1)(x 2 + x + 1) » формулу разности кубов в обратную сторону.

Рассмотрим пример сложнее. Требуется упростить произведение многочленов.

Если сравнить « (y 2 − 1)(y 4 + y 2 + 1) » с правой частью формулы разности кубов « a 3 − b 3 = (a − b)(a 2 + ab + b 2 ) », то можно понять, что на месте « a » из первой скобки стоит « y 2 , а на месте « b » стоит « 1 ».

Одночлены, которые стоят на месте « a » или « b » могут стоять в степени.

Например, в рассматриваемом примере на месте « a » стоит « y 2 ». Это означает, что именно « y 2 » мы рассматриваем как « a ».

Представим скобку « (y 4 + y 2 + 1) » таким образом, чтобы она соответствовала правой части формулы разности кубов.

1. Разность квадратов двух выражений равна произведению их разности и их суммы.
2. Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого плюс удвоенное произведение первого на второе плюс квадрат второго.
3. Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого минус удвоенное произведение первого на второе плюс квадрат второго.
4. Сумма кубов двух выражений равна произведению суммы первого и второго на неполный квадрат их разности.
5. Разность кубов двух выражений равна произведению разности первого и второго на неполный квадрат их суммы.
6. Куб суммы двух выражений равен кубу первого плюс утроенное произведение квадрата первого на второе плюс утроенное произведение первого на квадрат второго плюс куб второго.
7. Куб разности двух выражений равен кубу первого минус утроенное произведение квадрата первого на второе плюс утроенное произведение первого на квадрат второго минус куб второго.

Чему равен квадратный корень из 49?

В математике квадратный корень из числа, подобного 49, — это число, которое при умножении само на себя равно 49.

Любое число с подкоренным символом рядом с ним называется подкоренным членом или квадратным корнем из 49.в радикальной форме.

Чтобы объяснить квадратный корень немного больше, квадратный корень из числа 49 — это величина (которую мы называем q), которая при умножении сама на себя равна 49:

√49 = q × q = q 2

Так что же такое квадратный корень из 49 и как его вычислить? Хорошо, если у вас есть компьютер или калькулятор, вы можете легко вычислить квадратный корень. Если вам нужно сделать это вручную, то для этого потребуется старое доброе деление в длину с помощью карандаша и листа бумаги.

Для целей этой статьи мы вычислим его за вас (но позже в статье мы покажем вам, как вычислить его самостоятельно с помощью деления в большую сторону). Квадратный корень из 49 равен 7:

7 × 7 = 49

Является ли 49 идеальным квадратом?

Когда квадратный корень данного числа является целым числом, это называется полным квадратом.

Если мы посмотрим на число 49, то узнаем, что квадратный корень равен 7, а поскольку это целое число, мы также знаем, что 49 — это полный квадрат .

Если вы хотите узнать больше о числах с идеальным квадратом, у нас есть список идеальных квадратов, который охватывает первые 1000 чисел с идеальным квадратом.

Является ли 49 рациональным или иррациональным числом?

Еще один распространенный вопрос, который может возникнуть при работе с корнями числа, например 49, заключается в том, является ли данное число рациональным или иррациональным. Рациональные числа можно записать в виде дроби, а иррациональные — нет.

Самый быстрый способ проверить, является ли число рациональным или иррациональным, — определить, является ли оно полным квадратом. Если да, то это рациональное число, а если не полный квадрат, то это иррациональное число.

Мы уже знаем, что 49 — рациональное число, потому что мы знаем, что это полный квадрат.

Вычисление квадратного корня из 49

Чтобы вычислить квадратный корень из 49 с помощью калькулятора, введите в калькулятор число 49 и нажмите клавишу √x:

√49 = 7,0000

Чтобы вычислить квадратный корень из 49 в Excel, Numbers of Google Sheets, вы можете использовать функцию :

SQRT(49) = 7

Округление квадратного корня из 49

Иногда, когда вы работаете с квадратным корнем из 49, вам может понадобиться округлить ответ до определенного числа знаков после запятой:

10-й: √49 = 7,0

100-й: √49 = 7,00

1000-й: √49 = 7,000

Нахождение квадратного корня из 49с длинной дивизией

Если у вас нет калькулятора или компьютерной программы, вам придется использовать старое доброе деление в длину, чтобы извлечь квадратный корень из 49. Именно так математики вычисляли его задолго до того, как были изобретены калькуляторы и компьютеры.

Шаг 1

Установите 49 в виде пар двух цифр справа налево и присоедините один набор 00, потому что нам нужен один десятичный знак:

Шаг 2

Начиная с первого набора: самый большой полный квадрат меньше или равен 49равно 49, а квадратный корень из 49 равен 7. Поэтому ставим 7 сверху и 49 снизу вот так:

7

49

49

Надеюсь, это дало вам представление о том, как извлечь квадратный корень с помощью деления в большую сторону, чтобы вы могли самостоятельно решать будущие задачи.

Практика извлечения квадратных корней на примерах

Если вы хотите продолжить изучение квадратных корней, взгляните на случайные вычисления на боковой панели справа от этой записи в блоге.

Мы перечислили выборку совершенно случайных чисел, которые вы можете щелкнуть и следовать информации о вычислении квадратного корня из этого числа, чтобы помочь вам понять числовые корни.

Как разложить число на множители?

В школе на уроках математики разложение числа на множители обычно записывают столбиком в две колонки. Делается это
так: в левую колонку выписываем исходное число, затем

• Берём самое маленькое простое число — 2 и по признакам
  делимости или обычным делением проверяем, делится ли исходное число на 2.
• Если делится, то в правую колонку выписываем 2. Далее делим исходное число на 2 и записываем результат в левую
  колонку под исходным числом.
• Если не делится, то берём следующее простое число — 3.

Повторяем эти шаги, при этом работаем уже с последним числом в левой колонке и с текущим простым числом. Разложение
заканчивается, когда в левой колонке будет записано число 1.

Чтобы лучше понять алгоритм, разберём несколько примеров.

Пример. Разложить на множители число 84.

Решение. Записываем число 84 в левую колонку:

84

Берём первое простое число — два и проверяем, делится ли 84 на 2. Так как 84 оканчивается на 4, а 4 делится на 2,
то и 84 делится на 2 по признаку делимости. Записываем 2 в
правую колонку. 84:2 = 42, число 42 записываем в левую колонку. Получили вот что:

8442
2

Теперь работаем уже с числом 42. Число 42 делится на 2, поэтому записываем 2 в правую колонку, 42:2 = 21, число
21 записываем в левую колонку.

844221
22

Число 21 на 2 не делится, поэтому проверяем его делимость на следующее простое число — 3. Число 21 делится на 3,
21:3 = 7. Записали 3 в правую колонку, 7 — в левую. Получили

8442217
223

Число 7 — простое число, поэтому в правой колонке записываем 7, в левую пишем 1. В итоге получили:

84422171
2237

Всё, число разложено!

В результате в правой колонке оказались записаны все простые множители числа 84. То есть 84=2∙2∙3∙7.

Как извлечь квадратный корень из ста двадцати пяти с примером, онлайн.

1. Чтобы получить и вывести корень квадратный из «ста двадцати пяти» вам понадобится соответствующий способ — этот способ называется калькулятор, если вы конечно не умеете получать корни квадратные в уме…!смайлы

   Воспользуемся:

   Открываем .

   Набираем число — 125, из которого получим квадратный корень.

   125

   Ищем и нажимаем знак квадратного корня.

   125

   В окне калькулятора видим ваш квадратный корень из числа «125»:

   11.180339887499

2. Квадратный корень из ста двадцати пяти :

   11.180339887499

   Видим, что извлеченный корень квадратный из числа «125» не является целым!

   Количество знаков извлеченного корня из числа «125» после запятой:

   12

   Если умножим на е 11.180339887499 на 11.180339887499 получим в результате — 125.Результат: 11.180339887499 * 11.180339887499 = 125Округлим полученный корень из «ста двадцати пяти» до десятых!

   Окргуленение до сотых — это означает, что чисел после запятой будет 1:11.1

   Округлим полученный корень из «ста двадцати пяти» до сотых!
   Окргуленение до сотых — это означает, что чисел после запятой будет 2:11.18

3. Чтобы записать корень квадратный — используем знак корня.Первый идет знак корня «√», следующее — число «125» из которого будем извлекать корень. Далее равно и что получилось :

   √ 125 = 11.180339887499

   Если вы используется сайт, то в данном случае есть возможность использовать css и знак корня сделать более интересным(). Запись корня происходит абсолютно аналогично первому пункту — 1).знак,2).число,3).равно,4).результат.

   125= 11.180339887499

   Чтобы указать степень корня, слева от него ставят степень корня.

   2125= 11.180339887499

4. Не забываем, что у корня квадратного из числа есть второе значение со знаком минус:

   — 11.180339887499 * — 11.180339887499 = 125

5. Вам нужно разложить число «125» на числа(в том числе для того, чтобы вынести из под корня, либо еще говорят — упростить…)? Если их умножить последовательно друг на друга, то получим первоначальное число! Написал пару функций, которые автоматически раскладывают представленное число на все числа, на которые число раскладывается!Если число не раскладывается, то вы увидите соответствующее сообщение.Как и где проверить, что «125» не раскладывается ? Смотри здесь.

   Как видим, что у нас под корнем есть повторяющиеся цифры…

   5 * 5 * 5

   Выше у нас была 1 пара повторяющихся цифр. При переносе 1 пары за пределы корня — оставляем одну цифру пары — 5 И здесь же мы видим, что у нас под корнем осталась 1 число = 5

   5 5

6. Получаем онлайн квадратный корень из «125» — вам потребуется сделать несколько действий:

   Вам нужен .

   Нужно набрать ваше число — 125, из которого хотите получить квадратный корень.

   125

   Ищем знак квадратного корня.

   125

   Получаем квадратный корень из числа «125»:

   11.180339887499

Не стесняемся говорить спасибо!