Дополнительные формулы сокращенного умножения
Есть три основные дополнительные ФСУ – это бином Ньютона, формула возведения в квадрат суммы трех, четырех и более слагаемых, а также формула разности n-ых степеней двух слагаемых. Коротко о каждой из них.
Бином Ньютона
Бином Ньютона – это формула для разложения на отдельные слагаемые целой неотрицательной степени суммы двух переменных. Выглядит она следующим образом:
Ck в степени n – это биноминальные коэффициенты, стоящие в строке под номером n в треугольнике Паскаля. Вычисляются эти коэффициенты по формуле:
Иначе говоря, ФСУ для квадрата и куба разности и суммы являются частными случаями формулы бинома Ньютона при n=2 и n=3 соответственно.
Однако может быть так, что слагаемых в сумме, которую нужно возвести в степень, больше, чем два. В таком случае подойдет формула квадрата суммы трех, четырех и более слагаемых.
Формула возведения в квадрат суммы трех, четырех и более слагаемых
Как и было сказано, формула возведения в квадрат суммы трех, четырех и более слагаемых нужна, когда слагаемых в сумме, которую нужно возвести в степень, больше, чем два.
Выглядит она так:
Читать и запоминать эту формулу нужно следующим образом: квадрат суммы n слагаемых равен сумме квадратов всех слагаемых и удвоенных произведений всех возможных пар этих слагаемых.
Формула разности n-ых степеней двух слагаемых
И последняя формула – это формула разности n-ых степеней двух слагаемых, выглядящая вот так:
Как правило, данную формулу разделяют на две отдельные: для четных и нечетных степеней.
Формула для четных показателей 2m:
Формула для нечетных показателей 2m + 1:
Несложно догадаться, что ФСУ разности квадратов и кубов являются частными случаями данной формулы при n=2 и n=3 соответственно. А для разности кубов b заменяется на –b.
Рассмотренные нами ФСУ и дополнительные ФСУ обязательно помогут вам быстрее справляться с математическими задачами и занимать свой мозг полезной деятельностью.
Вопросы и ответы
И напоследок несколько ответов на часто задаваемые вопросы.
Для чего нужны формулы сокращенного умножения?
Формулы сокращенного умножения нужны, чтобы упростить и ускорить вычисления, а также для улучшения наглядности и понимания математических выражений.
В настоящее время ФСУ широко используются в образовании и науке, а также в практической жизни. Они применяются в различных областях, таких как математика, физика, химия и инженерия, плюс могут применяться к решению различных задач, например, в области финансов, менеджмента и исследования данных.
Как появились формулы сокращенного умножения?
Формулы сокращенного умножения появились в результате исследований математиков в области алгебры и арифметики и основаны на использовании их свойств, таких как коммутативность, ассоциативность и дистрибутивность.
Если обратиться к истории, можно узнать, что такими формулами пользовались еще в Древнем Вавилоне и Древнем Египте. Первым же, кто доказал математическую закономерность квадрата суммы, был древнегреческий ученый Евклид, живший в III веке до н.э. А на общепринятом языке математические формулы были обоснованы Исааком Ньютоном.
Сколько всего формул сокращенного умножения?
Не существует точного количества формул сокращенного умножения, т.к. их можно создавать неограниченное количество. Но в основном изучают и используют семь основных формул. Это квадрат суммы, квадрат разности, разность квадратов, сумма кубов, разность кубов, куб суммы и куб разности. Также распространено применения трех дополнительных ФСУ, таких как бином Ньютона, формула возведения в квадрат суммы трех, четырех и более слагаемых и формула разности n-ых степеней двух слагаемых.
Почему формулы сокращенного умножения изучают на алгебре в 7 классе?
Формулы сокращенного умножения изучаются на алгебре в 7 классе, потому что именно на этом этапе школьники знакомятся с понятием многочлена и действиям с ним. Кроме того, ФСУ являются важным и основным инструментом для решения математических задач и упрощения вычислений.
Формулы помогают ученикам развить навыки в решении простых задач, а также дают им навыки для решения более сложных задач в будущем, что в перспективе способно помочь молодым людям в их дальнейшем обучении и карьере.
Можно ли не использовать формулы сокращенного умножения?
Конечно, при решении математических задач можно и не использовать формулы сокращенного умножения. Однако без них процесс решения может оказаться очень трудоемким и долгим. ФСУ же заметно упрощают его и помогают справляться с заданиями намного быстрее.
Помимо прочего, ФСУ входят в обязательную школьную программу, вследствие чего преподаватели часто требуют от учеников, во-первых, знать эти формулы наизусть, а во-вторых, решать задания именно с их помощью.
Разложение многочленов на множители в комбинации с формулами сокращённого умножения 7 класс онлайн-подготовка на
Вводная информация
На предыдущих уроках мы изучили два способа разложения многочлена на множители – способ вынесения общего множителя и способ группировки. Кроме того, мы изучили формулы сокращенного умножения и говорили, что их также можно использовать для разложения многочлена на множители.
Теперь для начала рассмотрим простейшие способы комбинирования вышеуказанных методов разложения.
Пример 1:
Теперь усложним выражение, умножив заданный многочлен на три:
Данная формула очень похожа на полный квадрат, но в таком виде свернуть ее мы не можем, но мы видим, что у всех членов есть общий множитель и можем вынести его за скобку. Получаем:
Итак, первая комбинация это формулы сокращенного умножения плюс вынесение общего множителя за скобки.
Примеры на комбинацию вынесения общего множителя и формулы квадрата разности
Пример 2:
;
Определим, что можно вынести за скобки.
Вынесем найденный общий множитель:
Определим, какие буквенные множители можно вынести. Обе переменные a и b есть во всех членах многочлена, значит, их можно выносить. Осталось определить только, в какой степени. Для этого найдем минимальную степень каждой из переменных. Это и . Вынесем найденную буквенную часть:
Распишем полученную скобку более подробно, для этого определим, квадратами каких выражений являются первое и третье выражение, а затем проверим удвоенное произведение:
Очевидно, что в скобке стоит полный квадрат разности, так как мы помним его формулу: . Свернем его:
Комбинирование способа группировки и формулы разности квадратов
Пример 3:
;
Сгруппируем первый, третий и четвертый член, получим:
В скобках мы видим квадрат суммы. Свернем его:
Теперь мы видим разность квадратов. Вспомним формулу: .
Итак, мы рассмотрели комбинацию способа группировки и формул сокращенного умножения.
Пример 4:
Поступаем аналогично предыдущему примеру: сначала группируем члены по схеме «3+1», после этого применяем формулы сокращенного умножения:
Комбинация вынесения множителя и формулы суммы кубов
Пример 5:
Очевидно, что нужно вынести за скобки:
В скобках мы получили формулу суммы кубов. Распишем ее:
В данном примере мы применили комбинацию вынесения общего множителя за скобки и формулы куба суммы.
Решение объемных примеров на комбинацию многих способов
Пример 6:
Распишем разность квадратов:
Пример 7:
Вынесем общий множитель за скобки:
Во второй скобке мы видим квадрат разности, можем свернуть его:
Выводы по уроку
Вывод: в данном уроке мы рассмотрели простейшие комбинации способов разложения многочлена на множители и формул сокращенного умножения и решили много различных примеров на разные варианты этих комбинаций.
Список рекомендованной литературы
1) Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 7. 6 издание. М.: Просвещение. 2010 г.
2) Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебра 7. М.: ВЕНТАНА-ГРАФ
3) Колягин Ю.М., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е. и др. Алгебра 7 .М.: Просвещение. 2006 г.
Рекомендованные ссылки на ресурсы интернет:
1. Школьный помощник (Источник).
2. Математика для чайников (Источник).
3. ЕГЭ по математике (Источник).
Рекомендованное домашнее задание:
Задание 1: Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 7, № 890, ст.224;
Задание 2: Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 7, № 897, ст.225
Задание 3: Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 7, №899, ст. 225;
Вынесение общего множителя за скобки
Преобразование математического выражения, в результате которого многочлен представлен произведением нескольких множителей и тождественен (т.е. равен) исходному, называют разложением многочлена на множители.
Например:
ad+bd=(a+b)*d
Чтобы вынести общий множитель за скобки, сначала нужно его найти.
Не забываем полезные лайфхаки для нахождения общего множителя:
- Все четные числа делятся на два;
- Число делится на три, если сумма составляющих его цифр делится на три
(например, нужно узнать, делится ли на 3 число 78;
7+8=15:3=5, соответственно, 78 делится на 3)
На 5 делятся числа, которые оканчиваются на 0 и 5
Часто в алгебраические выражения и тождества входят буквенные переменные. Например а, в, с, х, у
и другие. И многоэтажные примеры в учебники алгебры из нагромождения букв и чисел приводят неподготовленного ученика в священный трепет.
Не стоит пугаться. Буквенная переменная это полноправный множитель, и с ним можно производить все действия, которые применимы к обычным числам: сокращать, выносить за скобки, складывать, возводить в степень и т.д.
Алгебра в таблицах. 7–11 классы. Справочное пособие
Пособие содержит таблицы по всем наиболее важным разделам школьного курса арифметики, алгебры, начал анализа. В таблицах кратко изложена теория по каждой теме, приведены основные формулы, графики и примеры решения типовых задач. В конце книги помещен предметный указатель. Пособие будет полезно учащимся 7–11 классов, абитуриентам, студентам, учителям и родителям.
Купить
Работа с многочленом ведется в определенном порядке.
1.Сначала преобразуем числовые коэффициенты. Определяем, на какое наибольшее целое число (наибольший общий делитель) делятся числовые коэффициенты каждого входящего в уравнение одночлена без остатка.
8а2+12аb-4a
8=4*2=2*2*2
12=4*3=2*2*3
4=2*2
Определили, что все числовые коэффициенты делятся на 4.
2. Затем находим общие буквенные коэффициенты для всех одночленов многочлена и выносим их за скобки в наименьшей степени.
В нашем примере 8а2+12аb-4a, общим буквенным коэффициентом является а
в наименьшей степени 1. Выносим за скобки общий буквенный и определенный на предыдущем этапе общий числовой коэффициенты
4а(2а+3b-1)
NB! Чтобы проверить правильность проведенных преобразований, нужно умножить вынесенный за скобки одночлен на многочлен в скобках. В результате должно получиться исходное выражение.
Проведем проверку:
4а(2а+3b-1)=4а*2а+4а*3а-4а=8а2+12аb-4a
Все правильно!
А сейчас, чтобы закрепить тему «Вынесение за скобки общего множителя», решим пример из учебника «Алгебра» для 7 класса под редакцией Мерзляка А. Г.
Факторизация полиномов — Факторизация полиномов с примерами
Факторизация полиномов требуется для решения различных задач по алгебре. Множители — это числа или алгебраические выражения, которые делят другое число или выражение нацело, т. е. их деление дает в остатке 0, (или) множители считаются небольшими числами или выражениями, которые при умножении дают другие числа.
Пример: 1, 2, 4, 7, 14 и 28 являются множителями числа 28.
Аналогично, многочлен разлагается на множители, чтобы записать его как произведение двух или более многочленов. Это называется факторизацией многочлена. любое число или полином является простой факторизацией. В этом методе мы записываем число в виде произведения его простых множителей.
Пример. Найдите простые делители числа 70
Аналогично можно выразить алгебраическую выражения как произведение их множителей.
Пример:
Типы факторинговых полиномов
Факторизация — это не что иное, как запись числа как произведения меньших чисел. Это разложение ряда (или) математических объектов на меньшие или более простые числа/объекты. Факторизация различных типов алгебраических выражений очень полезна для различных целей, используемых в математике. Существуют различные методы факторизации:0028
Наибольший общий делитель
Наибольший общий делитель между двумя числами называется GCF (Greatest Common Factor). Это полезно для разложения многочленов на множители
Шаги для нахождения GCF:
- Шаг 1: Сначала разделите каждый член алгебраического выражения на неприводимые множители
- Шаг 2: Затем найдите среди них общие члены.
- Шаг 3: Теперь произведение общих членов и оставшихся членов дает требуемую форму множителя.
Пример: Факторизация 3x + 18
Решение:
Перегруппировка
Иногда члены данного выражения следует расположить в подходящие группы таким образом, чтобы все группы имели общий делитель, и тогда общий делитель выносится. Таким образом производится факторизация многочлена.
Пример: разложить на множители x 2 + yz + xy + xz
Решение:
Факторизация с использованием тождеств
Существует множество стандартных алгебраических тождеств, которые используются для факторизации различных многочленов. Некоторые из них приведены ниже:
- (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
- (a – b) 2 = a 2 2
- a 2 – b 2 = (a + b) (a – b)
Example 1: Factorise x 2 + 8x + 16
Solution:
Пример 2: Фактор x 2 — 6x +
Решение:
Пример 3: Фактор 2x + 3 + 2Y + 3X
Решение:
Часто задаваемые вопросы по факторизации
Вопрос 1: Что такое факторизация и напишите ее пример?
Ответ:
Вопрос 2: Каковы основные 4 типа методов факторизации?
Ответ:
