Тригонометрические формулы косинус в кубе

воскресенье, 4 августа 2019 г.

Дописывал постскриптум к статье о и увидел в Википедии этот замечательный текст:

Читаем: «… богатая теоретическая основа математики Вавилона не имела целостного характера и сводилась к набору разрозненных приемов, лишенных общей системы и доказательной базы.»

Вау! Какие мы умные и как хорошо можем видеть недостатки других. А слабо нам посмотреть на современную математику в таком же разрезе? Слегка перефразируя приведенный текст, лично у меня получилось следующее:

Богатая теоретическая основа современной математики не имеет целостного характера и сводится к набору разрозненных разделов, лишенных общей системы и доказательной базы.

За подтверждением своих слов я далеко ходить не буду — имеет язык и условные обозначения, отличные от языка и условных обозначений многих других разделов математики. Одни и те же названия в разных разделах математики могут иметь разный смысл. Наиболее очевидным ляпам современной математики я хочу посвятить целый цикл публикаций. До скорой встречи.

Определение тригонометрических функций через окружность[]

Пусть на плоскости задана прямоугольная система координат с началом в точке O{\displaystyle O} и с осями OX{\displaystyle {OX}} и OY{\displaystyle {OY}} . Возьмём в этой системе координат окружность с центром в точке O{\displaystyle O} и радиусом, равным единице. Пусть отрезок OA{\displaystyle {OA}} поворачивается на произвольный угол ϑ{\displaystyle \vartheta} вокруг центра O.{\displaystyle O.}

Синусом угла ϑ{\displaystyle \vartheta} называется отношение ординаты точки A{\displaystyle A} к длине отрезка OA.{\displaystyle {OA}.} Обозначают sin⁡ϑ=ACOA.{\displaystyle \sin\vartheta=\frac{AC}{OA}.} Так как длина отрезка OA{\displaystyle {OA}} равна 1{\displaystyle 1}, то sin⁡ϑ=AC.{\displaystyle \sin\vartheta={AC}.}

Косинусом угла ϑ{\displaystyle \vartheta} называется отношение абсциссы точки A{\displaystyle A} к длине отрезка OA.{\displaystyle {OA}.} Обозначают cos⁡ϑ=OCOA.{\displaystyle \cos\vartheta=\frac{OC}{OA}.} Так как длина отрезка OA{\displaystyle {OA}} равна 1, то cos⁡ϑ=OC.{\displaystyle \cos\vartheta={OC}.}

Тангенсом угла ϑ{\displaystyle \vartheta} называется отношение ординаты точки A{\displaystyle A} к абсциссе точки A{\displaystyle A}. Обозначают tgϑ=ACOC{\displaystyle \operatorname{tg}\,\vartheta=\frac{AC}{OC}} (в англоязычной литературе tan⁡ϑ).{\displaystyle \tan\vartheta ).} Так как AC=sin⁡ϑ{\displaystyle {AC}=\sin \vartheta} и OC=cos⁡ϑ,{\displaystyle {OC}=\cos\vartheta,} то tgϑ=sin⁡ϑcos⁡ϑ.{\displaystyle \operatorname{tg}\,\vartheta=\frac{\sin\vartheta}{\cos\vartheta}.}

Котангенсом угла ϑ{\displaystyle \vartheta} называется отношение абсциссы точки A{\displaystyle A} к ординате точки A{\displaystyle A}. Обозначают ctgϑ=OCAC{\displaystyle \operatorname{ctg}\,\vartheta=\frac{OC}{AC}} (в англоязычной литературе cot⁡ϑ).{\displaystyle \cot\vartheta ).} Так как AC=sin⁡ϑ{\displaystyle {AC}=\sin \vartheta} и OC=cos⁡ϑ,{\displaystyle {OC}=\cos\vartheta,} то ctgϑ=cos⁡ϑsin⁡ϑ.{\displaystyle \operatorname{ctg}\,\vartheta=\frac{\cos\vartheta}{\sin\vartheta}.} Котангенс равен обратному значению тангенса: ctgϑ=1tgϑ.{\displaystyle \operatorname{ctg}\,\vartheta=\frac{1}{\operatorname{tg}\,\vartheta}.}

Секансом угла ϑ{\displaystyle \vartheta} называется отношение длины отрезка OA{\displaystyle {OA}} к абсциссе точки A{\displaystyle A}. Обозначают sec⁡ϑ=OAOC.{\displaystyle \sec\vartheta=\frac{OA}{OC}.} Так как длина отрезка OA{\displaystyle {OA}} равна 1, то sec⁡ϑ=1OC.{\displaystyle \sec\vartheta=\frac{1}{OC}.} Секанс равен обратному значению косинуса: sec⁡ϑ=1cos⁡ϑ.{\displaystyle \sec\vartheta=\frac{1}{\cos\vartheta}.}

Косекансом угла ϑ{\displaystyle \vartheta} называется отношение длины отрезка OA{\displaystyle {OA}} к ординате точки A{\displaystyle A}. Обозначают cosecϑ=OAAC{\displaystyle \operatorname{cosec}\,\vartheta=\frac{OA}{AC}} (в англоязычной литературе csc⁡ϑ).{\displaystyle \csc \vartheta ).} Так как длина отрезка OA{\displaystyle {OA}} равна 1{\displaystyle 1}, то cosecϑ=1AC.{\displaystyle \operatorname{cosec}\,\vartheta=\frac{1}{AC}.} Косеканс равен обратному значению синуса: cosecϑ=1sin⁡ϑ.{\displaystyle \operatorname{cosec}\,\vartheta=\frac{1}{\sin\vartheta}.}

Из определения следует: если косинус угла равен нулю, то тангенс и секанс этого угла не существуют. Аналогично для котангенса и косеканса: если синус угла равен нулю, то котангенс и косеканс этого угла не существуют.

Определение знака

Достоверность результата зависит от правильного решения. Неверный знак функции способен кардинально его изменить. Для безошибочного определения значений потребуются еще кое-какие знания. К ним относятся следующие: понятие о системе координат и теорема Пифагора, а также умение чертить окружность с определенным радиусом.

Системы координат, которые применяются при решении задач бывают полярными и декартовыми. Последние используются чаще, чем первые. Полярные применяются для решения задач из области высшей математики, а также в других сложных дисциплинах с физико-математическим уклоном.

Дополнительные сведения

Для определения знака применяется обыкновенная система координат с двумя осями. Одна из них (ОХ) является осью абсцисс, а другая (ОУ) — ординат. Ее центром, который совпадает с центром тригонометрической окружности, является точка «О». Очень часто для работы необходимо знание теоремы Пифагора. Ее формулировка имеет следующий вид: в любом прямоугольном треугольнике выполняется равенство квадрата гипотенузы и суммы квадратов катетов. Вторая формулировка записывается в виде формулы: с^2 = a^2 + b^2 (c, a и b — гипотенуза и два катета соответственно).

Необходимо обратить внимание на следующий факт: сумма всех углов треугольника составляет 180 градусов, то есть является развернутым углом. Математически утверждение можно записать следующим образом через углы а, b и c: а + b + c = 180

Кроме того, существуют и другие соотношения между острыми углами прямоугольного треугольника: cos (a) = sin (b), cos (b) = sin (a), tg (a) = ctg (b), и tg (b) = ctg (a).

Чтобы найти знаки тангенса и котангенса по четвертям, используются такие соотношения: tg (a) = sin (a) / cos (a) и ctg (a) = cos (a) / sin (a).

Построение окружности

Сделать «инструмент», который значительно ускорит процесс решения задач довольно просто. Для этого нужно построить декартовую систему координат и единичную окружность с центром в точке О (точка пересечения осей абсцисс и ординат). Горизонтальная ось обозначается «х», а вертикальная — «у».

Рекомендуется чертить произвольную окружность. Чертеж должен быть простым и понятным. Это называется масштабирование, при котором изображение не соответствует действительному размеру объекта. Его примером является обыкновенная географическая карта. Кроме того, при проектировании очень мелких деталей применяются чертежи, которые в несколько десятков или сотен раз превышают натуральные размеры. Обозначение точки на плоскости выполняется следующим образом:

Координаты заключаются в круглые скобки и разделяются «;».
На первом месте стоит значение, соответствующее оси абсцисс, а на втором — ординат: (x;y).

Окружность пересекает оси в четырех точках: (1;0), (0;1), (-1;0) и (0;-1). Четвертями называются области, которые делят систему координат на четыре равные части. Отсчет выполняется от первой четверти (x>0 и y>0) против часовой стрелки:

Значения по x и y больше 0 соответствуют первой четверти (I).
II: x<0 и y>0.
III: x<0 и y<0.
IV: x>0 и y<0.

Ось ординат соответствует всем значениям sin углов альфа и бета, а абсцисс — всем cos. Следовательно, по тригонометрической окружности можно определить знаки косинуса и синуса по четвертям. Рекомендуется отметить для удобства значения углов в радианах рядом с точками пересечения следующим образом:

0 и 2ПИ (0 и 360 градусов) — (1;0).
ПИ/2 (90) — (0;1).
3ПИ/2 (270) — (1;0).

Использование готового инструмента

Однако необязательно самостоятельно чертить единичную окружность для определения знаков. Можно воспользоваться уже готовыми вариантами (например, рис. 1).

Рисунок 1. Пример тригонометрического круга.

Косинус положителен в четвертях I и IV. Существуют области, где синус положителен: I и II. Функции tg и ctg положительны только в I и III четвертях. Однако перед тем, как приступить к решению задач, нужно понять термин «четность и нечетность функции». В тригонометрии они обладают такими свойствами:

cos(-a) = cos(a).
sin(-a) = -sin(a).
tg(-a) = -tg(a).
ctg(-a) = -ctg(a).

С помощью единичной окружности можно не только находить знаки функций, но и их значения. Например, для определения знака и значения cos(270) следует воспользоваться таким алгоритмом:

Определить четверть, в которой находится угол: 240 = 4ПИ/3 соответствует III четверти.
В III четверти величина функции принимает только отрицательные значения. Значит, перед ней следует поставить знак «минус».
Вычислить: cos(4ПИ/3) = — 1/2.

Когда угол представлен отрицательным значением, то следует правильно раскрыть скобки. Например, sin(-4ПИ/3) = — (-1/2) = 1/2.

Тригонометрические формулы сложения углов

cos (α — β) = cos α · cos β + sin α · sin β

sin (α + β) = sin α · cos β + sin β · cos α

sin (α — β) = sin α · cos β — sin β · cos α
cos (α + β) = cos α · cos β — sin α · sin β

Тангенс и котангенс суммы углов
альфа и бета могут быть преобразованы по следующим правилам преобразования тригонометрических функций:

Тангенс суммы углов
равен дроби, числитель которой — сумма тангенса первого и тангенса второго угла, а знаменатель — единица минус произведение тангенса первого угла на тангенс второго угла.

Тангенс разности углов
равен дроби, числитель которой равен разности тангенса уменьшаемого угла и тангенса вычитаемого угла, а знаменатель — единице плюс произведение тангенсов этих углов.

Котангенс суммы углов
равен дроби, числитель которой равен произведению котангенсов этих углов плюс единица, а знаменатель равен разности котангенса второго угла и котангенса первого угла.

Котангенс разности углов
равен дроби, числитель которой — произведение котангенсов этих углов минус единица, а знаменатель равен сумме котангенсов этих углов.

Данные тригонометрические тождества удобно применять, когда нужно вычислить, например, тангенс 105 градусов (tg 105). Если его представить как tg (45 + 60), то можно воспользоваться приведенными тождественными преобразованиями тангенса суммы углов, после чего просто подставить табличные значения тангенса 45 и тангенса 60 градусов.

Доказательство

Теперь перейдем непосредственно к выводу формул понижения степени тригонометрических функций.

Чтобы доказать их для квадрата, нам понадобятся фождества двойного угла `cos \ 2\alpha=1-2 \ sin^2 \alpha` и `cos \ 2\alpha=2 \ cos^2 \alpha-1`.

Формулу понижения степени синуса в квадрате получим, разрешив первое равенство относительно ` sin^2 \alpha`: `sin^2 \alpha=\frac{1-cos \ 2\alpha}2`.

Аналогично и с косинусом в квадрате, получим тождество, разрешив второе равенство относительно ` cos^2 \alpha`: `cos^2 \alpha=\frac{1+cos \ 2\alpha}2`.

Формула понижения степени тангенса и котангенса автоматически выводится из определений этих функций. Поскольку `tg \alpha=\frac {sin \alpha}{cos \alpha}`, то `tg^2 \alpha=\frac {sin^2 \alpha}{cos^2 \alpha}=` `\frac {\frac{1-cos \ 2\alpha}2}{\frac{1+cos \ 2\alpha}2}=\frac{1-cos \ 2\alpha}{1+cos \ 2\alpha}`. Аналогично получим `ctg^2 \alpha=\frac {cos^2 \alpha}{sin^2 \alpha}=` `\frac {\frac{1+cos \ 2\alpha}2}{\frac{1-cos \ 2\alpha}2}=\frac{1+cos \ 2\alpha}{1-cos \ 2\alpha}`.

Для лучшего усвоения теоретического материала рекомендуем посмотреть видео, где подробно описывается процесс доказательстве первых двух формул:

Если формулы тройного угла `sin \ 3\alpha=3 \ sin \ \alpha-4sin^3 \alpha` и
`cos \ 3\alpha=4cos^3 \alpha-3 \ cos \ \alpha` разрешить относительно `sin \ 3\alpha` и `cos \ 3\alpha`, то получим формулы понижения степени для синуса и косинуса в кубе: `sin^3 \alpha=\frac{3sin \ \alpha-sin \ 3\alpha}4` и `cos^3 \alpha=\frac{3cos \ \alpha+cos \ 3\alpha}4`.

Доказать данной равности для синуса и косинуса можно, воспользовавшись два раза формулами понижения квадратов:

`sin^4 \alpha=(sin^2 \alpha)^2=(\frac{1-cos \ 2\alpha}2)^2=` `\frac{1-2cos \ 2\alpha+cos^2 2\alpha}4=\frac{1-2cos \ 2\alpha+\frac{1+cos \ 4\alpha}2}4=` `\frac{3-4cos \ 2\alpha+cos \ 4\alpha}8`;

`cos^4 \alpha=(cos^2 \alpha)^2=(\frac{1+cos \ 2\alpha}2)^2=` `\frac{1+2cos \ 2\alpha+cos^2 2\alpha}4=\frac{1+2cos \ 2\alpha+\frac{1+cos \ 4\alpha}2}4=` `\frac{3+4cos \ 2\alpha+cos \ 4\alpha}8`.

Общий вид формул понижения степени

Для четных показателей степени (n=1, 2, 3,…):

`sin^n \alpha=\frac {C_\frac n 2^n}{2^n}+\frac1{2^{n-1}} \cdot \sum_{k=0}^{\frac n 2 -1} (-1)^{\frac n 2 -k} \cdot C_k^n \cdot cos((n-2k) \alpha)` и `cos^n \alpha=\frac {C_\frac n 2^n}{2^n}+\frac1{2^{n-1}} \cdot \sum_{k=0}^{\frac n 2 -1} C_k^n \cdot cos((n-2k) \alpha)`.

Для нечетных показателей степени (n=3, 5, 7,…):

`sin^n \alpha=\frac1{2^{n-1}} \cdot \sum_{k=0}^{\frac {n-1}2} (-1)^{\frac {n-1} 2 -k} \cdot C_k^n \cdot sin((n-2k) \alpha)` и `cos^n \alpha=\frac1{2^{n-1}} \cdot \sum_{k=0}^{\frac {n-1}2} C_k^n \cdot cos((n-2k) \alpha)`.

Комплекс операций инженерного калькулятора

Встроенный математический калькулятор поможет вам провести самые простые расчеты: умножение и суммирование, вычитание, а также деление. Калькулятор степеней онлайн быстро и точно возведет любое число в выбранную вами степень.

Представленный инженерный калькулятор содержит в себе все возможные вариации онлайн программ для расчетов. Kalkpro.ru содержит тригонометрический калькулятор (углы и радианы, грады), логарифмов (Log), факториалов (n!), расчета корней, синусов и арктангенсов, косинусов, тангенсов онлайн – множество тригонометрический функций и не только.

Работать с вычислительной программой можно онлайн с любого устройства, в каждом случае размер интерфейса будет подстраиваться под ваше устройство, либо вы можете откорректировать его размер на свой вкус.

Ввод цифр производится в двух вариантах:

с мобильных устройств – ввод с дисплеем телефона или планшета, клавишами интерфейса программы
с персонального компьютера – с помощью электронного дисплея интерфейса, либо через клавиатуру компьютера любыми цифрами

Примеры преобразований выражений, содержащих обратные тригонометрические функции

Пример 1.

Упростить выражение cos (arcsin х), где .

Решение:

Положим arcsin х = у. Тогда sin у = х, . Нужно найти cos у.

Известно, что
значит,
Но , а на отрезке
косинус принимает лишь неотрицательные значения. Поэтому т.е.

Пример 2.

Вычислить .

Решение:

Положим . Тогда

Нужно вычислить

Имеем ; значит,
Так как, далее,
откуда

По условию, значит, а в интервале имеем
Итак, т. е.

Пример 3.

Доказать, что для любого х из справедливо тождество

Решение:

Вычислим значения синуса левой и правой частей проверяемого равенства:

Синусы, как мы видим, равны, поэтому, чтобы убедиться в справедливости равенства (1), осталось показать, что
принадлежат одно-му и тому же промежутку монотонности функции у = sin х (без проверки этого условия можно получить неверный результат, ведь тригонометрические функции могут принимать одинаковые значения и для различных значении аргумента, например )

Имеем
Далее, а поэтому
Итак, arcsin х и
принадлежат одному промежутку монотонности
функции у = sin х. Теперь можно считать, что тождество (1) доказано. Аналогично можно доказать, что

Сумма и разность функций

В каком виде можно представить действия

Использование этих формул позволяет перейти от суммы или разности функций углов $\alpha$ и $\beta$ к произведению функций углов $\frac{\alpha\;+\;\beta}2\;$ и $\;\frac{\alpha\;-\;\beta}2$.

Примеры формул

$\sin\left(\alpha\right)\;+\;\sin\left(\beta\right)\;=\;2\;\times\;\sin\left(\frac{\alpha\;+\;\beta}2\right)\;\times\;\cos\left(\frac{\alpha\;-\;\beta}2\right)$

$\sin\left(\alpha\right)\;-\;\sin\left(\beta\right)\;=\;2\;\times\;\sin\left(\frac{\alpha\;-\;\beta}2\right)\;\times\;\cos\left(\frac{\alpha\;+\;\beta}2\right)$

$\cos\left(\alpha\right)\;+\;\cos\left(\beta\right)\;=\;2\;\times\;\cos\left(\frac{\alpha\;+\;\beta}2\right)\;\times\;\cos\left(\frac{\alpha\;-\;\beta}2\right)$

$\cos\left(\alpha\right)\;-\;\cos\left(\beta\right)\;=\;-2\;\times\;\sin\left(\frac{\alpha\;+\;\beta}2\right)\;\times\;\sin\left(\frac{\alpha\;-\;\beta}2\right)$

Формула Муавра

Пусть дано комплексное число в тригонометрической форме:

Возведём его в квадрат, умножив на само себя:

Затем возведём в куб, умножив на себя ещё раз:

Несложно догадаться, что будет дальше — при возведении в степень $n$. Это называется формула Муавра.

Простая формула, которая ускоряет вычисления раз в десять! И кстати: эта формула работает при любом $n\in \mathbb{R}$, а не только натуральном. Но об этом позже. Сейчас примеры:

Последним шагом мы воспользовались периодичностью синуса и косинуса, уменьшив аргумент сразу на 28π.

Следующую задачу в разных вариациях любят давать на контрольных работах и экзаменах:

Вот так всё просто! Следующие два раздела предназначены для углублённого изучения. Для тех, кто хочет действительно разобраться в комплексных числах.

Произведение тригонометрических функций

Если формулы суммы и разности функций позволяют перейти к их произведению, то формулы произведения тригонометрических функций осуществляют обратный переход — от произведения к сумме. Рассматриваются формулы произведения синусов, косинусов и синуса на косинус.

Формулы произведения тригонометрических функций

sinα·sinβ=12·(cos(α-β)-cos(α+β))cosα·cosβ=12·(cos(α-β)+cos(α+β))sinα·cosβ=12·(sin(α-β)+sin(α+β))

Произведение косинусов

Сложим базовые равенства I и II — косинус разности и косинус суммы:

cos(α−β) + cos(α+β) = = cos(α)×cos(β) + sin(α)×sin(β) + cos(α)×cos(β) − sin(α)×sin(β) = {одинаковые произведения синусов сокращаются} = cos(α)×cos(β) + cos(α)×cos(β) = 2×cos(α)×cos(β)

Получаем равенство:

cos(α−β) + cos(α+β) = 2×cos(α)×cos(β)

В этом равенстве можно и левую и правую части поделить на 2 и поменять местами и получится искомое выражение для произведения косинусов:

cos(α)×cos(β) = / 2,

т.е. произведение косинусов равно полусумме косинуса разности и косинуса суммы.

Произведение тангенса на тангенс

Выведем формулу произведения тангенса на тангенс (d).

Другую формулу произведения тангенса на тангенс (формула (d’)) получим применяя формулы (a) и (c):

Произведение синусов

Воспользуемся базовыми формулами I и II — косинус разности и косинус суммы. Из равенства I вычтем равенство II:

cos(α−β) — cos(α+β) = = cos(α)×cos(β) + sin(α)×sin(β) — cos(α)×cos(β) + sin(α)×sin(β) = {одинаковые произведения косинусов сокращаются} = sin(α)×sin(β) + sin(α)×sin(β) = 2×sin(α)×sin(β)

Получаем равенство:

cos(α−β) — cos(α+β) = 2×sin(α)×sin(β)

В этом равенстве можно левую и правую части поделить на 2 и поменять местами и получится искомое выражение для произведения синусов:

sin(α)×sin(β) = / 2,

т.е. произведение синусов равно полуразности косинуса разности и косинуса суммы.

Произведение синуса на косинус

Сложим базовые равенства III и IV — синус суммы и синус разности:

sin(α−β) + sin(α+β) = = sin(α)×cos(β) − cos(α)×sin(β) + sin(α)×cos(β) + cos(α)×sin(β) = {одинаковые cos(α)×sin(β) сокращаются} = sin(α)×cos(β) + sin(α)×cos(β) = = 2×sin(α)×cos(β)

Получаем равенство:

sin(α−β) + sin(α+β) = 2×sin(α)×cos(β)

В этом равенстве можно левую и правую части поделить на 2 и поменять местами и получится искомое выражение для произведения синуса на косинус:

sin(α)×cos(β) = / 2,

т.е. произведение синуса на косинус равно полусумме синуса разности и синуса суммы.

Произведение котангенса на котангенс

Выведем формулу произведения котангенса на котангенс (e).

Другую формулу произведения котангенса на котангенс (формула (e’)) получим применяя формулы (a) и (c):